Bài 3.8 trang 165 SBT giải tích 12


Giải bài 3.8 trang 165 sách bài tập giải tích 12. Trong các hàm số dưới đây, hàm số nào là một nguyên hàm của hàm số?...

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Trong các hàm số dưới đây, hàm số nào là một nguyên hàm của hàm số  \(f(x) = \dfrac{1}{{1 + \sin x}}\) ?

LG câu a

a) \(F(x) = 1 - \cot \left( {\dfrac{x}{2} + \dfrac{\pi }{4}} \right)\)

Phương pháp giải:

Lấy đạo hàm mỗi hàm số đã cho và kiểm tra.

Giải chi tiết:

\(F(x) = 1 - \cot \left( {\dfrac{x}{2} + \dfrac{\pi }{4}} \right)\)

Ta có: \(F'\left( x \right) = \dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{{{{\sin }^2}\left( {\dfrac{x}{2} + \dfrac{\pi }{4}} \right)}}\) \( = \dfrac{1}{2}.\dfrac{2}{{1 - \cos \left( {x + \dfrac{\pi }{2}} \right)}}\) \( = \dfrac{1}{{1 + \sin x}} = f\left( x \right)\)

Do đó \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của \(f\left( x \right)\).

LG câu b

b) \(G(x) = 2\tan \dfrac{x}{2}\)

Phương pháp giải:

Lấy đạo hàm mỗi hàm số đã cho và kiểm tra.

Giải chi tiết:

\(G'\left( x \right) = \left( {2\tan \dfrac{x}{2}} \right)'\) \( = 2.\dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{{{{\cos }^2}\dfrac{x}{2}}} = \dfrac{1}{{{{\cos }^2}\dfrac{x}{2}}}\) \( = \dfrac{2}{{1 + \cos x}} \ne f\left( x \right)\) nên \(G\left( x \right)\) không là nguyên hàm của \(f\left( x \right)\).

LG câu c

c) \(H(x) = \ln (1 + \sin x)\)

Phương pháp giải:

Lấy đạo hàm mỗi hàm số đã cho và kiểm tra.

Giải chi tiết:

\(H'\left( x \right) = \left[ {\ln \left( {1 + \sin x} \right)} \right]'\) \( = \dfrac{{\left( {1 + \sin x} \right)'}}{{1 + \sin x}}\) \( = \dfrac{{\cos x}}{{1 + \sin x}} \ne f\left( x \right)\) nên \(H\left( x \right)\) không là nguyên hàm của \(f\left( x \right)\).

LG câu d

d) \(K(x) = 2\left( {1 - \dfrac{1}{{1 + \tan \dfrac{x}{2}}}} \right)\)

Phương pháp giải:

Lấy đạo hàm mỗi hàm số đã cho và kiểm tra.

Giải chi tiết:

\(K'\left( x \right) = 2\left( {1 - \dfrac{1}{{1 + \tan \dfrac{x}{2}}}} \right)'\) \( =  - 2.\dfrac{{ - \left( {1 + \tan \dfrac{x}{2}} \right)'}}{{{{\left( {1 + \tan \dfrac{x}{2}} \right)}^2}}}\) \( = \dfrac{{2.\dfrac{1}{2}\left( {1 + {{\tan }^2}\dfrac{x}{2}} \right)}}{{{{\left( {1 + \tan \dfrac{x}{2}} \right)}^2}}}\) \( = \dfrac{1}{{{{\cos }^2}\dfrac{x}{2}}}.\dfrac{{{{\cos }^2}\dfrac{x}{2}}}{{{{\left( {\sin \dfrac{x}{2} + \cos \dfrac{x}{2}} \right)}^2}}}\)

\( = \dfrac{1}{{{{\sin }^2}\dfrac{x}{2} + 2\sin \dfrac{x}{2}\cos \dfrac{x}{2} + {{\cos }^2}\dfrac{x}{2}}}\) \( = \dfrac{1}{{1 + \sin x}} = f\left( x \right)\).

Vậy \(K\left( x \right)\) là một nguyên hàm của \(f\left( x \right)\).

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu

Các bài liên quan: - Bài 1: Nguyên hàm

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2022 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.