Bài 3.7 trang 164 SBT giải tích 12


Giải bài 3.7 trang 164 sách bài tập giải tích 12. Bằng cách biến đổi các hàm số lượng giác, hãy tính:...

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Bằng cách biến đổi các hàm số lượng giác, hãy tính:

LG câu a

a) \(\int {{{\sin }^4}x} dx\)                 

Phương pháp giải:

Hạ bậc đưa về dạng tổng rồi tính nguyên hàm, sử dụng công thức nguyên hàm hàm số cơ bản \(\int {\cos kxdx}  = \dfrac{{\sin kx}}{k} + C\).

Giải chi tiết:

Ta có: \({\sin ^4}x = \dfrac{{{{\left( {1 - \cos 2x} \right)}^2}}}{4}\)\( = \dfrac{1}{4}\left( {1 - 2\cos 2x + {{\cos }^2}2x} \right)\)

\( = \dfrac{1}{4}\left( {1 - 2\cos 2x + \dfrac{{1 + \cos 4x}}{2}} \right)\) \( = \dfrac{1}{4}\left( {\dfrac{3}{2} - 2\cos 2x + \dfrac{1}{2}\cos 4x} \right)\)

Khi đó \(\int {{{\sin }^4}x} dx\)\( = \int {\dfrac{1}{4}\left( {\dfrac{3}{2} - 2\cos 2x + \dfrac{1}{2}\cos 4x} \right)dx} \) \( = \int {\left( {\dfrac{3}{8} - \dfrac{1}{2}\cos 2x + \dfrac{1}{8}\cos 4x} \right)dx} \)

\( = \dfrac{3}{8}x - \dfrac{1}{2}.\dfrac{{\sin 2x}}{2} + \dfrac{1}{8}.\dfrac{{\sin 4x}}{4} + C\) \( = \dfrac{3}{8}x - \dfrac{{\sin 2x}}{4} + \dfrac{{\sin 4x}}{{32}} + C\)

LG câu b

b) \(\int {\dfrac{1}{{{{\sin }^3}x}}dx} \)

Phương pháp giải:

Nhân cả tử và mẫu của biểu thức dưới dấu nguyên hàm với \(\sin x\) rồi đổi biến \(t = \cos x\) để tìm nguyên hàm.

Giải chi tiết:

Ta có: \(\int {\dfrac{1}{{{{\sin }^3}x}}dx} \)\( = \int {\dfrac{{\sin x}}{{{{\sin }^4}x}}dx} \) \( = \int {\dfrac{{\sin x}}{{{{\left( {1 - {{\cos }^2}x} \right)}^2}}}dx} \)

Đặt \(t = \cos x \Rightarrow dt =  - \sin xdx\) ta có:

LG câu c

c) \(\int {{{\sin }^3}x{{\cos }^4}xdx} \)

Phương pháp giải:

Đổi biến \(u = \cos x\) tính nguyên hàm.

Giải chi tiết:

\(\int {{{\sin }^3}x{{\cos }^4}xdx} \)

Đặt \(t = \cos x \Rightarrow dt =  - \sin xdx\).

Khi đó \(\int {{{\sin }^3}x{{\cos }^4}xdx} \)\( = \int {{{\sin }^2}x.{{\cos }^4}x.\sin xdx} \) \( = \int {\left( {1 - {t^2}} \right).{t^4}.\left( { - dt} \right)} \)

\( = \int {\left( { - {t^4} + {t^6}} \right)dt} \) \( =  - \dfrac{{{t^5}}}{5} + \dfrac{{{t^7}}}{7} + C\) \( =  - \dfrac{{{{\cos }^5}x}}{5} + \dfrac{{{{\cos }^7}x}}{7} + C\).

LG câu d

d) \(\int {{{\sin }^4}x{{\cos }^4}xdx} \)

Phương pháp giải:

Hạ bậc (sử dụng công thức nhân đôi) và tính nguyên hàm.

Giải chi tiết:

Ta có: \({\sin ^4}x{\cos ^4}x\)\( = {\left( {\dfrac{1}{2}\sin 2x} \right)^4} = \dfrac{1}{{{2^4}}}{\sin ^4}2x\) \( = \dfrac{1}{{16}}{\left( {{{\sin }^2}2x} \right)^2} = \dfrac{1}{{16}}.{\left[ {\dfrac{{1 - \cos 4x}}{2}} \right]^2}\)

\( = \dfrac{1}{{64}}{\left( {1 - \cos 4x} \right)^2}\) \( = \dfrac{1}{{64}}\left( {1 - 2\cos 4x + {{\cos }^2}4x} \right)\) \( = \dfrac{1}{{64}} - \dfrac{1}{{32}}\cos 4x + \dfrac{1}{{64}}.\dfrac{{1 + \cos 8x}}{2}\)

\( = \dfrac{3}{{128}} - \dfrac{1}{{32}}\cos 4x + \dfrac{1}{{128}}\cos 8x\)

Loigiaihay.com

Sub đăng ký kênh giúp Ad nhé !


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu

Các bài liên quan: - Bài 1: Nguyên hàm

>> Luyện thi tốt nghiệp THPT và Đại học năm 2021, mọi lúc, mọi nơi tất cả các môn cùng các thầy cô giỏi nổi tiếng, dạy hay dễ hiểu trên Tuyensinh247.com. Đã có đầy đủ các khóa học từ nền tảng tới luyện thi chuyên sâu.


Gửi bài