Bài 3.6 trang 164 SBT giải tích 12


Giải bài 3.6 trang 164 SBT giải tích 12. Tính các nguyên hàm sau:...

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Tính các nguyên hàm sau:

LG câu a

a) \(\int {x{{(3 - x)}^5}dx} \)

Phương pháp giải:

Đổi biến \(t = 3 - x\).

Giải chi tiết:

Đặt \(t = 3 - x \Rightarrow dt =  - dx\).

Khi đó \(\int {x{{(3 - x)}^5}dx} \) \( = \int {\left( {3 - t} \right).{t^5}.\left( { - dt} \right)} \) \( = \int {\left( { - 3{t^5} + {t^6}} \right)dt} \) \( =  - 3.\dfrac{{{t^6}}}{6} + \dfrac{{{t^7}}}{7} + C\) \( = \dfrac{{ - {{\left( {3 - x} \right)}^6}}}{2} + \dfrac{{{{\left( {3 - x} \right)}^7}}}{7} + C\)

LG câu b

b) \(\int {{{({2^x} - {3^x})}^2}} dx\)

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức nguyên hàm cơ bản \(\int {{a^x}dx}  = \dfrac{{{a^x}}}{{\ln a}} + C\).

Giải chi tiết:

Ta có: \(\int {{{({2^x} - {3^x})}^2}} dx\)\( = \int {\left( {{2^{2x}} + {3^{2x}} - {{2.2}^x}{{.3}^x}} \right)dx} \) \( = \int {{2^{2x}}dx}  + \int {{3^{2x}}dx}  - 2\int {{6^x}dx} \) \( = \int {{4^x}dx}  + \int {{9^x}dx}  - 2.\int {{6^x}dx} \) \( = \dfrac{{{4^x}}}{{\ln 4}} + \dfrac{{{9^x}}}{{\ln 9}} - 2.\dfrac{{{6^x}}}{{\ln 6}} + C\).

LG câu c

c) \(\int {x\sqrt {2 - 5x} dx} \)

Phương pháp giải:

Đổi biến \(t = \sqrt {2 - 5x} \).

Giải chi tiết:

Đặt \(t = \sqrt {2 - 5x}  \Rightarrow {t^2} = 2 - 5x\) \( \Rightarrow 2tdt =  - 5dx \Rightarrow dx =  - \dfrac{{2tdt}}{5}\)

Khi đó \(\int {x\sqrt {2 - 5x} dx} \) \( = \int {\dfrac{{2 - {t^2}}}{5}.t.\left( {\dfrac{{ - 2tdt}}{5}} \right)} \) \( =  - \dfrac{2}{{25}}\int {\left( {2{t^2} - {t^4}} \right)dt} \) \( =  - \dfrac{2}{{25}}\left( {\dfrac{2}{3}{t^3} - \dfrac{{{t^5}}}{5}} \right) + C\)

\( =  - \dfrac{4}{{75}}{\left( {\sqrt {2 - 5x} } \right)^3} + \dfrac{2}{{125}}{\left( {\sqrt {2 - 5x} } \right)^5} + C\)

LG câu d

d) \(\int {\dfrac{{\ln (\cos x)}}{{{{\cos }^2}x}}} dx\)

Phương pháp giải:

Đặt \(u = \ln (\cos x),dv = \dfrac{{dx}}{{{{\cos }^2}x}}\) và sử dụng công thức nguyên hàm từng phần \(\int {udv}  = uv - \int {vdu} \).

Giải chi tiết:

Đặt \(u = \ln (\cos x),dv = \dfrac{{dx}}{{{{\cos }^2}x}}\) suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}du = \dfrac{{ - \sin x}}{{\cos x}} =  - \tan x\\v = \tan x\end{array} \right.\)

Khi đó \(\int {\dfrac{{\ln (\cos x)}}{{{{\cos }^2}x}}} dx\)\( = \tan x\ln \left( {\cos x} \right) + \int {{{\tan }^2}xdx} \)

\( = \tan x\ln \left( {\cos x} \right) + \int {\left( {{{\tan }^2}x + 1 - 1} \right)dx} \) \( = \tan x\ln \left( {\cos x} \right) + \int {\left( {{{\tan }^2}x + 1} \right)dx}  + \int {dx} \)

\( = \tan x\ln \left( {\cos x} \right) + \tan x - x + C\) \( = \tan x\left[ {\ln \left( {\cos x} \right) + 1} \right] - x + C\)

LG câu e

e) \(\int {\dfrac{x}{{{{\sin }^2}x}}} dx\)

Phương pháp giải:

Đặt \(u = x,dv = \dfrac{{dx}}{{{{\sin }^2}x}}\) và sử dụng công thức nguyên hàm từng phần \(\int {udv}  = uv - \int {vdu} \).

Giải chi tiết:

Đặt \(u = x,dv = \dfrac{{dx}}{{{{\sin }^2}x}}\)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = dx\\v =  - \cot x\end{array} \right.\)

Khi đó \(\int {\dfrac{x}{{{{\sin }^2}x}}} dx\)\( =  - x\cot x + \int {\cot xdx} \) \( =  - x\cot x + \int {\dfrac{{\cos x}}{{\sin x}}dx} \) \( =  - x\cot x + \int {\dfrac{{d\left( {\sin x} \right)}}{{\sin x}}} \)

\( =  - x\cot x + \ln \left| {\sin x} \right| + C\)

LG câu g

g) \(\int {\dfrac{{x + 1}}{{(x - 2)(x + 3)}}dx} \)

Phương pháp giải:

Tách \(\dfrac{{x + 1}}{{(x - 2)(x + 3)}} = \dfrac{3}{{5(x - 2)}} + \dfrac{2}{{5(x + 3)}}\) và tính nguyên hàm theo công thức \(\int {\dfrac{1}{{ax + b}}dx}  = \dfrac{{\ln \left| {ax + b} \right|}}{a} + C\).

Giải chi tiết:

Ta có  \(\dfrac{{x + 1}}{{(x - 2)(x + 3)}} = \dfrac{3}{{5(x - 2)}} + \dfrac{2}{{5(x + 3)}}\)

Khi đó \(\int {\dfrac{{x + 1}}{{(x - 2)(x + 3)}}dx} \)\( = \int {\left( {\dfrac{3}{{5(x - 2)}} + \dfrac{2}{{5(x + 3)}}} \right)dx} \) \( = \dfrac{3}{5}\int {\dfrac{{dx}}{{x - 2}}}  + \dfrac{2}{5}\int {\dfrac{{dx}}{{x + 3}}} \)

\( = \dfrac{3}{5}\ln \left| {x - 2} \right| + \dfrac{2}{5}\ln \left| {x + 3} \right| + C\) \( = \dfrac{1}{5}\left[ {\ln {{\left| {x - 2} \right|}^3}{{\left( {x + 3} \right)}^2}} \right] + C\)

LG câu h

h) \(\int {\dfrac{1}{{1 - \sqrt x }}} dx\)

Phương pháp giải:

Đổi biến đặt \(t = \sqrt x \).

Giải chi tiết:

Đặt \(t = \sqrt x  \Rightarrow x = {t^2} \Rightarrow dx = 2tdt\).

Khi đó \(\int {\dfrac{1}{{1 - \sqrt x }}} dx\)\( = \int {\dfrac{1}{{1 - t}}.2tdt}  = \int {\left( { - 2 + \dfrac{2}{{1 - t}}} \right)dx} \)

\( =  - 2t - 2\ln \left| {1 - t} \right| + C\) \( =  - 2\sqrt x  - 2\ln \left| {1 - \sqrt x } \right| + C\)

LG câu i

i) \(\int {\sin 3x\cos 2xdx} \)

Phương pháp giải:

Khai triển \(\sin 3x.\cos 2x = \dfrac{1}{2}\left( {\sin x + \sin 5x} \right)\) và tính nguyên hàm.

Giải chi tiết:

Ta có: \(\sin 3x.\cos 2x = \dfrac{1}{2}\left( {\sin x + \sin 5x} \right)\).

Khi đó \(\int {\sin 3x\cos 2xdx} \)\( = \dfrac{1}{2}\int {\left( {\sin x + \sin 5x} \right)dx} \)

\( = \dfrac{1}{2}\left( { - \cos x - \dfrac{{\cos 5x}}{5}} \right) + C\)\( =  - \dfrac{1}{2}\left( {\cos x + \dfrac{1}{5}\cos 5x} \right) + C\).

Loigiaihay.com

Sub đăng ký kênh giúp Ad nhé !


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu

Các bài liên quan: - Bài 1: Nguyên hàm

>> Luyện thi tốt nghiệp THPT và Đại học năm 2021, mọi lúc, mọi nơi tất cả các môn cùng các thầy cô giỏi nổi tiếng, dạy hay dễ hiểu trên Tuyensinh247.com. Đã có đầy đủ các khóa học từ nền tảng tới luyện thi chuyên sâu.


Gửi bài