Bài 3.4 trang 164 SBT giải tích 12


Giải bài 3.4 trang 164 sách bài tập giải tích 12. Tính các nguyên hàm sau bằng phương pháp đổi biến số:...

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Tính các nguyên hàm sau bằng phương pháp đổi biến số:

LG câu a

a) \(\int {{x^2}\sqrt[3]{{1 + {x^3}}}} dx\)  với \(x >  - 1\) (đặt \(t = 1 + {x^3}\))

Phương pháp giải:

Đặt \(t = u\left( x \right)\), tính \(dx\) theo \(dt\) thay vào nguyên hàm cần tính.

Giải chi tiết:

Đặt \(t = 1 + {x^3}\)\( \Rightarrow dt = 3{x^2}dx \Rightarrow {x^2}dx = \dfrac{{dt}}{3}\).

Khi đó \(\int {{x^2}\sqrt[3]{{1 + {x^3}}}} dx = \int {\sqrt[3]{t}.\dfrac{{dt}}{3}} \) \( = \dfrac{1}{3}\int {{t^{\dfrac{1}{3}}}dt}  = \dfrac{1}{3}.\dfrac{{{t^{\dfrac{1}{3} + 1}}}}{{\dfrac{1}{3} + 1}} + C\) \( = \dfrac{1}{4}{t^{\dfrac{4}{3}}} + C = \dfrac{1}{4}{\left( {1 + {x^3}} \right)^{\dfrac{4}{3}}} + C\)

LG câu b

b) \(\int {x{e^{ - {x^2}}}} dx\)  (đặt \(t = {x^2}\))

Phương pháp giải:

Đặt \(t = u\left( x \right)\), tính \(dx\) theo \(dt\) thay vào nguyên hàm cần tính.

Giải chi tiết:

Đặt \(t = {x^2} \Rightarrow dt = 2xdx\) \( \Rightarrow xdx = \dfrac{{dt}}{2}\)

Khi đó \(\int {x{e^{ - {x^2}}}} dx = \int {{e^{ - t}}.\dfrac{{dt}}{2}} \)\( =  - \dfrac{1}{2}{e^{ - t}} + C =  - \dfrac{1}{2}{e^{ - {x^2}}} + C\).

LG câu c

c) \(\int {\dfrac{x}{{{{(1 + {x^2})}^2}}}} dx\)   (đặt \(t = 1 + {x^2}\))

Phương pháp giải:

Đặt \(t = u\left( x \right)\), tính \(dx\) theo \(dt\) thay vào nguyên hàm cần tính.

Giải chi tiết:

Đặt \(t = 1 + {x^2}\)\( \Rightarrow dt = 2xdx \Rightarrow xdx = \dfrac{{dt}}{2}\).

Khi đó, \(\int {\dfrac{x}{{{{(1 + {x^2})}^2}}}} dx = \int {\dfrac{1}{{{t^2}}}.\dfrac{{dt}}{2}}  = \dfrac{1}{2}\int {\dfrac{{dt}}{{{t^2}}}} \) \( =  - \dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{t} + C =  - \dfrac{1}{{2\left( {1 + {x^2}} \right)}} + C\)

LG câu d

d) \(\int {\dfrac{1}{{(1 - x)\sqrt x }}} dx\) (đặt \(t = \sqrt x \))

Phương pháp giải:

Đặt \(t = u\left( x \right)\), tính \(dx\) theo \(dt\) thay vào nguyên hàm cần tính.

Giải chi tiết:

Đặt \(t = \sqrt x  \Rightarrow dt = \dfrac{1}{{2\sqrt x }}dx\)\( \Rightarrow \dfrac{{dx}}{{\sqrt x }} = 2dt\) và \(x = {t^2}\).

Khi đó \(\int {\dfrac{1}{{(1 - x)\sqrt x }}} dx\)\( = \int {\dfrac{1}{{\left( {1 - {t^2}} \right)}}.2dt}  = \int {\dfrac{2}{{1 - {t^2}}}dt} \) \( = \int {\left( {\dfrac{1}{{1 - t}} + \dfrac{1}{{1 + t}}} \right)dt} \)

\( =  - \ln \left| {1 - t} \right| + \ln \left| {1 + t} \right| + C\) \( = \ln \left| {\dfrac{{1 + t}}{{1 - t}}} \right| + C\)\( = \ln \left| {\dfrac{{1 + \sqrt x }}{{1 - \sqrt x }}} \right| + C\).

LG câu e

e) \(\int {\sin \dfrac{1}{x}.\dfrac{1}{{{x^2}}}} dx\)  (đặt \(t = \dfrac{1}{x}\) )

Phương pháp giải:

Đặt \(t = u\left( x \right)\), tính \(dx\) theo \(dt\) thay vào nguyên hàm cần tính.

Giải chi tiết:

Đặt \(t = \dfrac{1}{x}\)\( \Rightarrow dt =  - \dfrac{1}{{{x^2}}}dx \Rightarrow \dfrac{{dx}}{{{x^2}}} =  - dt\).

Khi đó \(\int {\sin \dfrac{1}{x}.\dfrac{1}{{{x^2}}}} dx\)\( = \int {\sin t.\left( { - dt} \right)}  = \int {\left( { - \sin t} \right)dt} \) \( = \cos t + C = \cos \dfrac{1}{x} + C\)

LG câu g

g) \(\int {\dfrac{{{{(\ln x)}^2}}}{x}} dx\)  (đặt \(t = \ln x\))

Phương pháp giải:

Đặt \(t = u\left( x \right)\), tính \(dx\) theo \(dt\) thay vào nguyên hàm cần tính.

Giải chi tiết:

Đặt \(t = \ln x\)\( \Rightarrow dt = \dfrac{{dx}}{x}\). Khi đó

\(\int {\dfrac{{{{(\ln x)}^2}}}{x}} dx = \int {{t^2}.dt} \)\( = \dfrac{{{t^3}}}{3} + C = \dfrac{{{{\ln }^3}x}}{3} + C\)

LG câu h

h) \(\int {\dfrac{{\sin x}}{{\sqrt[3]{{{{\cos }^2}x}}}}} dx\)   (đặt \(t = \cos x\))

Phương pháp giải:

Đặt \(t = u\left( x \right)\), tính \(dx\) theo \(dt\) thay vào nguyên hàm cần tính.

Giải chi tiết:

Đặt \(t = \cos x\)\( \Rightarrow dt =  - \sin xdx\).

Khi đó \(\int {\dfrac{{\sin x}}{{\sqrt[3]{{{{\cos }^2}x}}}}} dx\)\( = \int {\dfrac{{ - dt}}{{\sqrt[3]{{{t^2}}}}}}  = \int { - {t^{ - \dfrac{2}{3}}}dt} \) \( =  - \dfrac{{{t^{ - \dfrac{2}{3} + 1}}}}{{ - \dfrac{2}{3} + 1}} + C =  - 3{t^{\dfrac{1}{3}}} + C\) \( =  - 3\sqrt[3]{t} + C =  - 3\sqrt[3]{{\cos x}} + C\).

Loigiaihay.com

Sub đăng ký kênh giúp Ad nhé !


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu

Các bài liên quan: - Bài 1: Nguyên hàm

>> Luyện thi tốt nghiệp THPT và Đại học năm 2021, mọi lúc, mọi nơi tất cả các môn cùng các thầy cô giỏi nổi tiếng, dạy hay dễ hiểu trên Tuyensinh247.com. Đã có đầy đủ các khóa học từ nền tảng tới luyện thi chuyên sâu.


Gửi bài