-
GIẢI TÍCH SBT - TOÁN 12
-
HÌNH HỌC SBT - TOÁN 12
Bài 3.4 trang 164 SBT giải tích 12
Giải bài 3.4 trang 164 sách bài tập giải tích 12. Tính các nguyên hàm sau bằng phương pháp đổi biến số:...
Tính các nguyên hàm sau bằng phương pháp đổi biến số:
LG câu a
a) \(\int {{x^2}\sqrt[3]{{1 + {x^3}}}} dx\) với \(x > - 1\) (đặt \(t = 1 + {x^3}\))
Phương pháp giải:
Đặt \(t = u\left( x \right)\), tính \(dx\) theo \(dt\) thay vào nguyên hàm cần tính.
Giải chi tiết:
Đặt \(t = 1 + {x^3}\)\( \Rightarrow dt = 3{x^2}dx \Rightarrow {x^2}dx = \dfrac{{dt}}{3}\).
Khi đó \(\int {{x^2}\sqrt[3]{{1 + {x^3}}}} dx = \int {\sqrt[3]{t}.\dfrac{{dt}}{3}} \) \( = \dfrac{1}{3}\int {{t^{\dfrac{1}{3}}}dt} = \dfrac{1}{3}.\dfrac{{{t^{\dfrac{1}{3} + 1}}}}{{\dfrac{1}{3} + 1}} + C\) \( = \dfrac{1}{4}{t^{\dfrac{4}{3}}} + C = \dfrac{1}{4}{\left( {1 + {x^3}} \right)^{\dfrac{4}{3}}} + C\)
LG câu b
b) \(\int {x{e^{ - {x^2}}}} dx\) (đặt \(t = {x^2}\))
Phương pháp giải:
Đặt \(t = u\left( x \right)\), tính \(dx\) theo \(dt\) thay vào nguyên hàm cần tính.
Giải chi tiết:
Đặt \(t = {x^2} \Rightarrow dt = 2xdx\) \( \Rightarrow xdx = \dfrac{{dt}}{2}\)
Khi đó \(\int {x{e^{ - {x^2}}}} dx = \int {{e^{ - t}}.\dfrac{{dt}}{2}} \)\( = - \dfrac{1}{2}{e^{ - t}} + C = - \dfrac{1}{2}{e^{ - {x^2}}} + C\).
LG câu c
c) \(\int {\dfrac{x}{{{{(1 + {x^2})}^2}}}} dx\) (đặt \(t = 1 + {x^2}\))
Phương pháp giải:
Đặt \(t = u\left( x \right)\), tính \(dx\) theo \(dt\) thay vào nguyên hàm cần tính.
Giải chi tiết:
Đặt \(t = 1 + {x^2}\)\( \Rightarrow dt = 2xdx \Rightarrow xdx = \dfrac{{dt}}{2}\).
Khi đó, \(\int {\dfrac{x}{{{{(1 + {x^2})}^2}}}} dx = \int {\dfrac{1}{{{t^2}}}.\dfrac{{dt}}{2}} = \dfrac{1}{2}\int {\dfrac{{dt}}{{{t^2}}}} \) \( = - \dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{t} + C = - \dfrac{1}{{2\left( {1 + {x^2}} \right)}} + C\)
LG câu d
d) \(\int {\dfrac{1}{{(1 - x)\sqrt x }}} dx\) (đặt \(t = \sqrt x \))
Phương pháp giải:
Đặt \(t = u\left( x \right)\), tính \(dx\) theo \(dt\) thay vào nguyên hàm cần tính.
Giải chi tiết:
Đặt \(t = \sqrt x \Rightarrow dt = \dfrac{1}{{2\sqrt x }}dx\)\( \Rightarrow \dfrac{{dx}}{{\sqrt x }} = 2dt\) và \(x = {t^2}\).
Khi đó \(\int {\dfrac{1}{{(1 - x)\sqrt x }}} dx\)\( = \int {\dfrac{1}{{\left( {1 - {t^2}} \right)}}.2dt} = \int {\dfrac{2}{{1 - {t^2}}}dt} \) \( = \int {\left( {\dfrac{1}{{1 - t}} + \dfrac{1}{{1 + t}}} \right)dt} \)
\( = - \ln \left| {1 - t} \right| + \ln \left| {1 + t} \right| + C\) \( = \ln \left| {\dfrac{{1 + t}}{{1 - t}}} \right| + C\)\( = \ln \left| {\dfrac{{1 + \sqrt x }}{{1 - \sqrt x }}} \right| + C\).
LG câu e
e) \(\int {\sin \dfrac{1}{x}.\dfrac{1}{{{x^2}}}} dx\) (đặt \(t = \dfrac{1}{x}\) )
Phương pháp giải:
Đặt \(t = u\left( x \right)\), tính \(dx\) theo \(dt\) thay vào nguyên hàm cần tính.
Giải chi tiết:
Đặt \(t = \dfrac{1}{x}\)\( \Rightarrow dt = - \dfrac{1}{{{x^2}}}dx \Rightarrow \dfrac{{dx}}{{{x^2}}} = - dt\).
Khi đó \(\int {\sin \dfrac{1}{x}.\dfrac{1}{{{x^2}}}} dx\)\( = \int {\sin t.\left( { - dt} \right)} = \int {\left( { - \sin t} \right)dt} \) \( = \cos t + C = \cos \dfrac{1}{x} + C\)
LG câu g
g) \(\int {\dfrac{{{{(\ln x)}^2}}}{x}} dx\) (đặt \(t = \ln x\))
Phương pháp giải:
Đặt \(t = u\left( x \right)\), tính \(dx\) theo \(dt\) thay vào nguyên hàm cần tính.
Giải chi tiết:
Đặt \(t = \ln x\)\( \Rightarrow dt = \dfrac{{dx}}{x}\). Khi đó
\(\int {\dfrac{{{{(\ln x)}^2}}}{x}} dx = \int {{t^2}.dt} \)\( = \dfrac{{{t^3}}}{3} + C = \dfrac{{{{\ln }^3}x}}{3} + C\)
LG câu h
h) \(\int {\dfrac{{\sin x}}{{\sqrt[3]{{{{\cos }^2}x}}}}} dx\) (đặt \(t = \cos x\))
Phương pháp giải:
Đặt \(t = u\left( x \right)\), tính \(dx\) theo \(dt\) thay vào nguyên hàm cần tính.
Giải chi tiết:
Đặt \(t = \cos x\)\( \Rightarrow dt = - \sin xdx\).
Khi đó \(\int {\dfrac{{\sin x}}{{\sqrt[3]{{{{\cos }^2}x}}}}} dx\)\( = \int {\dfrac{{ - dt}}{{\sqrt[3]{{{t^2}}}}}} = \int { - {t^{ - \dfrac{2}{3}}}dt} \) \( = - \dfrac{{{t^{ - \dfrac{2}{3} + 1}}}}{{ - \dfrac{2}{3} + 1}} + C = - 3{t^{\dfrac{1}{3}}} + C\) \( = - 3\sqrt[3]{t} + C = - 3\sqrt[3]{{\cos x}} + C\).
Loigiaihay.com
Bình luận
Chia sẻ
- Bài 3.5 trang 164 SBT giải tích 12
- Bài 3.6 trang 164 SBT giải tích 12
- Bài 3.7 trang 164 SBT giải tích 12
- Bài 3.8 trang 165 SBT giải tích 12
- Bài 3.9 trang 165 SBT giải tích 12
>> Xem thêm
Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 12 - Xem ngay
Group Ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
