Bài 3.7 trang 103 SBT hình học 12


Giải bài 3.7 trang 103 sách bài tập hình học 12. Cho hình tứ diện ABCD. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AC, BD, AD, BC. Chứng minh rằng:

Đề bài

Cho hình tứ diện ABCD. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AC, BD, AD, BC. Chứng minh rằng:

a) \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {CD}  = \overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {CB}  = 2\overrightarrow {MN} \)

b) \(\overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {CD}  = \overrightarrow {AC}  - \overrightarrow {BD}  = 2\overrightarrow {PQ} \)

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Xen điểm thích hợp chứng minh đẳng thức véc tơ.

Quảng cáo

Lộ trình SUN 2026

Lời giải chi tiết

a) Ta có  MPNQ là hình bình hành vì  \(\overrightarrow {MP}  = \overrightarrow {QN}  = \dfrac{1}{2}\overrightarrow {CD} \) và \(\overrightarrow {MQ}  = \overrightarrow {PN}  = \dfrac{1}{2}\overrightarrow {AB} \).

Do đó  \(\overrightarrow {MN}  = \overrightarrow {MQ}  + \overrightarrow {MP}  = \dfrac{{\overrightarrow {AB} }}{2} + \dfrac{{\overrightarrow {CD} }}{2}\)  hay  \(2\overrightarrow {MN}  = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {CD} \)      (1)

Mặt khác  \(\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {DB} \)

\(\overrightarrow {CD}  = \overrightarrow {CB}  + \overrightarrow {BD} \)

Nên  \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {CD}  = \overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {CB} \)           (2)

Vì \(\overrightarrow {DB}  =  - \overrightarrow {BD} \)

Từ (1) và (2) ta có: \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {CD}  = \overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {CB}  = 2\overrightarrow {MN} \)  là đẳng thức cần chứng minh.

b) Ta có: \(\overrightarrow {PQ}  = \overrightarrow {MQ}  - \overrightarrow {MP}  = \dfrac{{\overrightarrow {AB} }}{2} - \dfrac{{\overrightarrow {CD} }}{2}\)

Do đó:  \(2\overrightarrow {PQ}  = \overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {CD} \)        (3)

Mặt khác:  \(\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {CB} \)

\(\overrightarrow {CD}  = \overrightarrow {BD}  - \overrightarrow {BC} \)

Nên \(\overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {CD}  = \overrightarrow {AC}  - \overrightarrow {BD} \)             (4)

Vì  \(\overrightarrow {CB}  - ( - \overrightarrow {BC} ) = \overrightarrow 0 \)

Từ (3) và (4) ta suy ra  \(\overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {CD}  = \overrightarrow {AC}  - \overrightarrow {BD}  = 2\overrightarrow {PQ} \) là đẳng thức cần chứng minh.

Loigiaihay.com


Bình chọn:
3.4 trên 5 phiếu

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 12 - Xem ngay

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí