Bài 3.7 trang 103 SBT hình học 12

Giải bài 3.7 trang 103 sách bài tập hình học 12. Cho hình tứ diện ABCD. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AC, BD, AD, BC. Chứng minh rằng:

Đề bài

Cho hình tứ diện ABCD. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AC, BD, AD, BC. Chứng minh rằng:

a) $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD} = \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {CB} = 2\overrightarrow {MN}$

b) $\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {CD} = \overrightarrow {AC} - \overrightarrow {BD} = 2\overrightarrow {PQ}$

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Xen điểm thích hợp chứng minh đẳng thức véc tơ.

Lời giải chi tiết

a) Ta có MPNQ là hình bình hành vì $\overrightarrow {MP} = \overrightarrow {QN} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow {CD}$ và $\overrightarrow {MQ} = \overrightarrow {PN} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow {AB}$ .

Do đó $\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {MQ} + \overrightarrow {MP} = \dfrac{{\overrightarrow {AB} }}{2} + \dfrac{{\overrightarrow {CD} }}{2}$ hay $2\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD}$ (1)

Mặt khác $\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {DB}$

$\overrightarrow {CD} = \overrightarrow {CB} + \overrightarrow {BD}$

Nên $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD} = \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {CB}$ (2)

Vì $\overrightarrow {DB} = - \overrightarrow {BD}$

Từ (1) và (2) ta có: $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD} = \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {CB} = 2\overrightarrow {MN}$ là đẳng thức cần chứng minh.

b) Ta có: $\overrightarrow {PQ} = \overrightarrow {MQ} - \overrightarrow {MP} = \dfrac{{\overrightarrow {AB} }}{2} - \dfrac{{\overrightarrow {CD} }}{2}$

Do đó: $2\overrightarrow {PQ} = \overrightarrow {AB} - \overrightarrow {CD}$ (3)

Mặt khác: $\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CB}$

$\overrightarrow {CD} = \overrightarrow {BD} - \overrightarrow {BC}$

Nên $\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {CD} = \overrightarrow {AC} - \overrightarrow {BD}$ (4)

Vì $\overrightarrow {CB} - ( - \overrightarrow {BC} ) = \overrightarrow 0$

Từ (3) và (4) ta suy ra $\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {CD} = \overrightarrow {AC} - \overrightarrow {BD} = 2\overrightarrow {PQ}$ là đẳng thức cần chứng minh.

Loigiaihay.com

Bình luận

Chia sẻ

Bình chọn:

3.4 trên 5 phiếu

Bài tiếp theo

Bài 3.8 trang 103 SBT hình học 12
Giải bài 3.8 trang 103 sách bài tập hình học 12. Trong không gian cho ba vecto tùy ý. Gọi...
Bài 3.9 trang 104 SBT hình học 12
Giải bài 3.9 trang 104 sách bài tập hình học 12. Trong không gian Oxyz cho một vecto tùy ý khác vecto...
Bài 3.10 trang 104 SBT hình học 12
Giải bài 3.10 trang 104 sách bài tập hình học 12. Cho hình tứ diện ABCD....
Bài 3.11 trang 104 SBT hình học 12
Giải bài 3.11 trang 104 sách bài tập hình học 12. Tính tích vô hướng của hai vecto trong không gian với các tọa độ đã cho là:...
Bài 3.12 trang 104 SBT hình học 12
Giải bài 3.12 trang 104 sách bài tập hình học 12. Tính khoảng cách giữa hai điểm A và B trong mỗi trường hợp sau:...
Bài 3.13 trang 104 SBT hình học 12
Giải bài 3.13 trang 104 sách bài tập hình học 12. Trong không gian Oxyz cho tam giác ABC có tọa độ các đỉnh là: ...
Bài 3.14 trang 104 SBT hình học 12
Giải bài 3.14 trang 104 sách bài tập hình học 12. Trong không gian Oxyz hãy lập phương trình mặt cầu trong các trường hợp sau:...
Bài 3.15 trang 104 SBT hình học 12
Giải bài 3.15 trang 104 sách bài tập hình học 12. Trong không gian Oxyz hãy xác định tâm và bán kính các mặt cầu có phương trình sau đây:...
Bài 3.16 trang 104 SBT hình học 12
Giải bài 3.16 trang 104 sách bài tập hình học 12. Trong không gian Oxyz hãy viết phương trình mặt cầu đi qua bốn điểm A(1; 0; 0), B(0; -2; 0), C(0; 0; 4) và gốc tọa độ O. Hãy xác định tâm và bán kính của mặt cầu đó.
Bài 3.6 trang 103 SBT hình học 12
Giải bài 3.6 trang 103 sách bài tập hình học 12. Cho hình tứ diện ABCD. Chứng minh rằng:...
Bài 3.5 trang 103 SBT hình học 12
Giải bài 3.5 trang 103 sách bài tập hình học 12. Trong không gian Oxyz, hãy tìm trên mặt phẳng (Oxz) một điểm M cách đều ba điểm A(1; 1; 1), B(-1; 1; 0), C(3; 1; -1).
Bài 3.4 trang 103 SBT hình học 12
Giải bài 3.4 trang 103 sách bài tập hình học 12. Cho hai bộ ba điểm:...
Bài 3.3 trang 103 SBT hình học 12
Giải bài 3.3 trang 103 sách bài tập hình học 12. Trong không gian Oxyz cho điểm M có tọa độ (x0; y0 ; z0). Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm M trên các mặt phẳng tọa độ (Oxy), (Oyz), (Ozx).
Bài 3.2 trang 103 SBT hình học 12
Giải bài 3.2 trang 103 sách bài tập hình học 12. Trong không gian Oxyz cho vecto .
Bài 3.1 trang 103 SBT hình học 12
Giải bài 3.1 trang 103 sách bài tập hình học 12. Trong không gian Oxyz cho ba vecto. Tìm tọa độ của các vecto và biết rằng:...

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 12 - Xem ngay

Báo lỗi - Góp ý

Group Ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.