Bài 6. Cung chứa góc

Bài 33 trang 108 Vở bài tập toán 9 tập 2

Giải bài 33 trang 108 VBT toán 9 tập 2. Cho đường tròn đường kính AB cố định, M là điểm chạy trên đường tròn (M khác cả A và B). Trên tia đối của tia MA lấy điểm I sao cho MI = 2 . MB...

Đề bài

Cho đường tròn đường kính $AB$ cố định, $M$ là điểm chạy trên đường tròn ( $M$ khác cả $A$ và $B$ ). Trên tia đối của tia $MA$ lấy điểm $I$ sao cho $MI = 2 . MB$ .

a) Chứng minh $\widehat {AIB}$ không đổi.

b) Tìm tập hợp các điểm $I$ nói trên.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Sử dụng góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông và tỉ số lượng giác của góc nhọn

b) Chứng minh theo hai phần: Phần thuận và phần đảo.

Lập luận để có quỹ tích là cung chứa góc $AIB$ dựng trên đoạn $BC$ .

Chú ý đến giới hạn của quỹ tích.

Lời giải chi tiết

Nối $IB$

a) Góc $AMB$ là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính $AB$ nên $\widehat {AMB} = 90^\circ$

$\Rightarrow \Delta BMI$ là tam giác vuông.

Do đó, ta có :

$\tan \widehat {MIB} = \dfrac{{MB}}{{MI}}= \dfrac{{MB}}{{2MB}} = \dfrac{1}{2}$

Vậy $\widehat {AIB} = \alpha$ không đổi. Bằng cách tra bảng số hoặc dùng máy tính bỏ túi, ta thấy $\alpha \approx 26^\circ 34'.$

b) Phần thuận:

Khi điểm $M$ thay đổi trên đường tròn đường kính $AB$ thì điểm $I$ thay đổi và luôn nhìn cạnh $AB$ dưới một góc $\widehat {MIB}$ không đổi. Vậy điểm $I$ thuộc hai cung chứa góc $\alpha$ sao cho $\tan \alpha = \dfrac{1}{2}$ dựng trên đoạn $AB$ .

Nhưng tiếp tuyến $PQ$ với đường tròn đường kính $AB$ tại $A$ là vị trí giới hạn của $AM$ . Do đó, điểm $I$ thuộc hai cung $PmB$ và $Qm'B$ .

Hai điểm $P, Q$ là các điểm giới hạn của quỹ tích, điểm $B$ là điểm đặc biệt của quỹ tích

Phần đảo:

Lấy điểm $I'$ bất kỳ thuộc $\overparen{Qm'B}$ (hoặc cung $PmB$ )

Nối $AI'$ cắt đường tròn đường kính $AB$ tại $M'.$ Ta chứng minh $M'I' = 2M'B.$

Xét $\Delta BM'I'$ vuông ở $M'$ $\Rightarrow \tan \widehat {BI'M'} = \dfrac{{BM'}}{{M'I'}}$ $= \tan \alpha = \dfrac{1}{2}$

$\Rightarrow M'I' = 2BM'.$

Kết luận: Quỹ tích các điểm $I$ là cung $PmB$ và cung $Qm'B$ .

Loigiaihay.com

Bình luận

Chia sẻ

Bình chọn:

3.8 trên 8 phiếu

Bài tiếp theo

Bài 32 trang 108 Vở bài tập toán 9 tập 2
Giải bài 32 trang 108 VBT toán 9 tập 2. Dựng tam giác ABC, biết BC = 6 cm, góc A bằng 55 độ và đường cao AH = 4 cm...
Bài 31 trang 107 Vở bài tập toán 9 tập 2
Giải bài 31 trang 107 VBT toán 9 tập 2. Gọi cung chứa góc 55 độ ở bài 30 là cung AmB. Lấy điểm M1; M2 và cung AmB nằm cùng một phía đối với đường thẳng AB. Chứng minh rằng...
Bài 30 trang 107 Vở bài tập toán 9 tập 2
Giải bài 30 trang 107 VBT toán 9 tập 2. Dựng một cung chứa góc 55 độ trên đoạn thẳng AB = 3 cm...
Bài 29 trang 105 Vở bài tập toán 9 tập 2
Giải bài 29 trang 105 VBT toán 9 tập 2. Cho tam giác ABC vuông tại A có cạnh BC cố định. Gọi I là giao điểm của ba đường phân giác trong. Tìm quỹ tích điểm I khi A thay đổi...
Phần câu hỏi bài 6 trang 105 Vở bài tập toán 9 tập 2
Giải phần câu hỏi bài 6 trang 105 VBT toán 9 tập 2. câu 14. Hãy điền những từ còn thiếu vào các chỗ trống (…) trong các trường hợp sau...

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 9 - Xem ngay

Báo lỗi - Góp ý

Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí

>> Học trực tuyến Lớp 9 & Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com

>> Chi tiết khoá học xem: TẠI ĐÂY

Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều), theo lộ trình 3: Nền Tảng, Luyện Thi, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.