Bài 20 trang 144 Vở bài tập toán 9 tập 2


Đề bài

Cho nửa đường tròn tâm \(O\), đường kính \(AB=2R\), \(Ax\) và \(By\) là hai tiếp tuyến với nửa đường tròn tại \(A\) và \(B\). Lấy trên tia \(Ax\) điểm \(M\) rồi vẽ tiếp tuyến \(MP\) cắt \(By\) tại \(N\).

a/ Chứng minh rằng \(MON\) và \(APB\) là hai tam giác vuông đồng dạng.

b/ Chứng minh \(AM.BN = {R^2}.\)

c/ Tính tỉ số \(\dfrac{{{S_{MON}}}}{{{S_{APB}}}}\,khi\,AM = \dfrac{R}{2}.\) 

d/ Tính thể tích của hình do nửa hình tròn \(APB\) quay quanh \(AB\) sinh ra.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a)  Sử dụng tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau và tính chất tứ giác nội tiếp

b) Sử dụng tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau và hệ thức lượng trong tam giác vuông

c) Sử dụng: “ Tỉ số diện tích của hai tam giác đồng dạng bằng bình phương tỉ số đồng dạng”

d) Thể tích hình cầu bán kính \(R\) là \(V = \dfrac{4}{3}\pi {R^3}.\)

Lời giải chi tiết

a) \(MA//NB\) vì \(MA \bot AB\) và \(NB \bot AB.\) 

Nên \(AMNB\) là hình thang \(\widehat M + \widehat N = 180^\circ \,\left( 1 \right)\)

\(\widehat {{M_1}} = \dfrac{1}{2}\widehat M\) và \(\widehat {{N_1}} = \dfrac{1}{2}\widehat N\,\,\,\,\,(2)\) theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau.

\( \Rightarrow \widehat {{N_1}} + \widehat {{M_1}} = 90^\circ ;\) Do đó, \(\widehat {MON} = 90^\circ  \Rightarrow \Delta MON\) là tam giác vuông.

\(\Delta APB\) có \(\widehat {APB} = 90^\circ \) vì góc nội tiếp chắn nửa đường tròn \(\left( {O;\dfrac{{AB}}{2}} \right)\)

Do đó, \(\Delta MON\) và \(\Delta MPO\) là hai tam giác vuông.

Theo tính chất điểm chính giữa cung ta có : \(MO \bot AP\) và \(\widehat {{O_1}} = \widehat {{O_2}}\)

\( \Rightarrow \widehat {{M_1}} = \widehat {{A_1}}\) vì là hai góc cùng phụ với hai góc bằng nhau \(\widehat {{O_1}} = \widehat {{O_2}}.\)

Vậy \(\Delta MPO \backsim \Delta MON\) vì tam giác vuông có \(\widehat {{M_1}}\) chung.

b) Xét \(\Delta MAO\) và \(\Delta NBO\) là hai tam giác vuông có \(\widehat {AMO} = \widehat {BON}\) vì cùng bằng \(90^\circ  \Rightarrow \Delta MAO \backsim \Delta OBN.\)

Do đó \(\dfrac{{AM}}{{AO}} = \dfrac{{OB}}{{BN}}\) mà \(AO = OB = R \Rightarrow AM.BN = {R^2}.\)

c) Theo tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau ta có : \(AM = MP;BN = NP.\)

Từ câu b)  ta có  \(AM.BN = {R^2}\) \( \Rightarrow BN = \dfrac{{{R^2}}}{{AM}}\) \( \Rightarrow MN = \dfrac{R}{2} + 2R = \dfrac{{5R}}{2}\)

Suy ra \(M{N^2} = \dfrac{{25{R^2}}}{4} \Rightarrow \dfrac{{{S_{MON}}}}{{{S_{APB}}}} = \dfrac{{M{N^2}}}{{A{B^2}}}\)\( = \dfrac{{25}}{{16}}.\)

d) Nửa hình tròn \(APB\) quay quanh \(AB\) sinh ra hình cầu bán kính \(R\)

Vậy \(V = \dfrac{4}{3}\pi {R^3}.\)

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu
  • Bài 19 trang 143 Vở bài tập toán 9 tập 2

    Giải bài 19 trang 143 VBT toán 9 tập 2. Một cái bồn chứa xăng gồm hai nửa hình cầu và một hình trụ (h.80). Hãy tính thể tích của bồn chứa xăng theo các kích thước cho trên hình vẽ...

  • Bài 18 trang 142 Vở bài tập toán 9 tập 2

    Giải bài 18 trang 142 VBT toán 9 tập 2. Các loại bóng cho trong bảng đều có dạng hình cầu. Hãy điền vào ô trống ở bảng sau (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai)...

  • Bài 17 trang 142 Vở bài tập toán 9 tập 2

    Giải bài 17 trang 142 VBT toán 9 tập 2. Một khối gỗ dạng hình trụ, bán kính đường tròn đáy là r, chiều cao 2r (đơn vị: cm). Người ta khoét rỗng hai nửa hình cầu như hình 79. Hãy tính diện tích bề mặt...

  • Bài 16 trang 141 Vở bài tập toán 9 tập 2

    Giải bài 16 trang 141 VBT toán 9 tập 2. Nếu thể tích của một hình cầu là 113 1/7 xăng-ti-mét khối thì trong các kết quả sau đây, kết quả nào là bán kính của nó (lấy pi = 22/7)...

  • Phần câu hỏi bài 3 trang 141 Vở bài tập toán 9 tập 2

    Giải phần câu hỏi bài 3 trang 141 VBT toán 9 tập 2. Khi quay nửa đường tròn, bán kính R = 12,5 cm một vòng quanh đường kính AB cố định, ta được một mặt cầu. Diện tích mặt cầu đó là...

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 9 - Xem ngay

>> Học trực tuyến lớp 9 và luyện vào lớp 10 tại Tuyensinh247.com. , cam kết giúp học sinh lớp 9 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.