-
PHẦN GIẢI TÍCH - TOÁN 12
-
HÌNH HỌC - TOÁN 12
-
Câu hỏi tự luyện Toán 12
-
TẢI 35 ĐỀ KIỂM TRA 15 PHÚT TOÁN 12
-
TẢI 35 ĐỀ KIỂM TRA 1 TIẾT TOÁN 12
-
TẢI 5 ĐỀ THI GIỮA HỌC KÌ 1 TOÁN 12
-
TẢI 20 ĐỀ THI HỌC KÌ 1 TOÁN 12
-
TẢI 6 ĐỀ THI GIỮA HỌC KÌ 2 TOÁN 12
-
TẢI 25 ĐỀ THI HỌC KÌ 2 TOÁN 12
-
TẢI 90 ĐỀ THI THỬ TỐT NGHIỆP THPT
Toán 12 - Giải toán 12, giải bài tập toán lớp 12 đại số, hình học
Bài 3. Ứng dụng của tích phân trong hình học.
Các dạng toán về ứng dụng của tích phân trong hình học
Các dạng toán về ứng dụng của tích phân trong hình học
1. Ứng dụng của tích phân trong hình học (diện tích hình phẳng)
Dạng 1: Tính diện tích hình phẳng nếu biết hai đường giới hạn
Phương pháp:
- Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\), trục \(Ox\) và hai đường thẳng \(x = a,x = b\left( {a < b} \right)\) được tính bởi công thức:
\(S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} \)
- Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right),y = g\left( x \right)\) và hai đường thẳng \(x = a,x = b\left( {a < b} \right)\)được tính bởi công thức:
\(S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|dx} \)
Dạng 2: Tính diện tích hình phẳng nếu chưa biết hai đường giới hạn
Phương pháp:
- Bước 1: Giải phương trình \(f\left( x \right) = g\left( x \right)\) tìm nghiệm.
- Bước 2: Phá dấu giá trị tuyệt đối của biểu thức \(\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|\)
- Bước 3: Tính diện tích hình phẳng theo công thức tích phân:
\(S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|dx} \)
Ví dụ: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = \dfrac{{x + 1}}{{x - 2}}$ và các trục tọa độ. Chọn kết quả đúng nhất.
A. $3\ln 6$
B. \(3\ln \dfrac{3}{2}\)
C. \(3\ln \dfrac{3}{2} - 2\)
D.\(3\ln \dfrac{3}{2} - 1\)
Giải:
Đồ thị hàm số cắt $Ox$ tại $\left( {-1;0} \right)$, cắt $Oy$ tại $\left( {0; - \dfrac{1}{2}} \right)$.
Hàm số $y = \dfrac{{x + 1}}{{x - 2}}$ có \(y' = \dfrac{{ - 3}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} < 0,\forall x \in \left( { - 1;0} \right)\) nên hàm số $y = \dfrac{{x + 1}}{{x - 2}}$ nghịch biến trên $\left( {-1;0} \right)$.
Do đó \(y < 0,\forall x \in \left( { - 1;0} \right)\)
Do đó $S = \int\limits_{ - 1}^0 {\left| {\dfrac{{x + 1}}{{x - 2}}} \right|} dx = \int\limits_{ - 1}^0 {\left( { - \dfrac{{x + 1}}{{x - 2}}} \right)} dx = - \int\limits_{ - 1}^0 {\left( {1 + \dfrac{3}{{x - 2}}} \right)} dx $
$= - \left( {x + 3\ln \left| {x - 2} \right|\mathop |\nolimits_{ - 1}^0 } \right) = - 3\ln 2 - 1 + 3\ln 3 = 3\ln \dfrac{3}{2} - 1$
Chọn D.
2. Ứng dụng của tích phân trong hình học (thể tích vật thể)
Dạng 1: Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng \(\left( H \right)\) giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\), trục \(Ox\) và hai đường thẳng \(x = a,x = b\left( {a < b} \right)\) quanh trục \(Ox\)
Công thức tính:
\(V = \pi \int\limits_a^b {{f^2}\left( x \right)dx} \)
Dạng 2: Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng \(\left( H \right)\) giới hạn bởi đồ thị hàm số \(x = f\left( y \right)\), trục \(Oy\) và hai đường thẳng \(y = a,y = b\left( {a < b} \right)\) quanh trục \(Oy\).
Công thức tính:
\(V = \pi \int\limits_a^b {{f^2}\left( y \right)dy} \)
Dạng 3: Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng \(\left( H \right)\) giới hạn bởi các đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right),y = g\left( x \right)\) liên tục trên \(\left[ {a;b} \right],0 \le f\left( x \right) \le g\left( x \right),\forall x \in \left[ {a;b} \right]\) quay quanh trục \(Ox\)
Công thức tính:
\(V = \pi \int\limits_a^b {\left[ {{g^2}\left( x \right) - {f^2}\left( x \right)} \right]dx} \)
Dạng 4 ( Đọc thêm ): Tính thể tích của vật thể giới hạn bởi các mặt phẳng \(x = a,x = b\) biết diện tích thiết diện cắt bởi mặt phẳng vuông góc trục $Ox$ là \(S = S\left( x \right)\).
Công thức tính:
\(V = \int\limits_a^b {S\left( x \right)dx} \)
Khi miền \(D\) giới hạn bởi nhiều đồ thị hàm số thì ta nên vẽ hình, sau đó từ hình vẽ suy ra cách tính.
Ví dụ: Cho đường cong \(y = - {x^2} + 1\) và đường thẳng \(y = 0\). Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi hai đường trên quanh \(Ox\).
Ta có: \( - {x^2} + 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 1\\x = 1\end{array} \right.\)
Thể tích: \(V = \pi \int\limits_{ - 1}^1 {{{\left( { - {x^2} + 1} \right)}^2}dx} = \pi \int\limits_{ - 1}^1 {\left( {{x^4} - 2{x^2} + 1} \right)dx} \)
$= \pi \left. {\left( {\dfrac{{{x^5}}}{5} - \dfrac{{2{x^3}}}{3} + x} \right)} \right|_{ - 1}^1 = \dfrac{{16\pi }}{{15}}$.
Bình luận
Chia sẻ
- Giải bài 5 trang 121 SGK Giải tích 12
- Giải bài 4 trang 121 SGK Giải tích 12
- Giải bài 3 trang 121 SGK Giải tích 12
- Giải bài 2 trang 121 SGK Giải tích 12
- Giải bài 1 trang 121 SGK Giải tích 12
>> Xem thêm
Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 12 - Xem ngay
Group Ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
