Bài 3 trang 121 SGK Giải tích 12


Giải bài 3 trang 121 SGK Giải tích 12. Parabol chia hình tròn có tâm tại gốc tọa độ, bán kính thành hai phần. Tìm tỉ số diện tích của chúng

Đề bài

Parabol \(y = {{{x^2}} \over 2}\) chia hình tròn có tâm tại gốc tọa độ, bán kính \(2\sqrt2\) thành hai phần. Tìm tỉ số diện tích của chúng.

Video hướng dẫn giải

Phương pháp giải - Xem chi tiết

+) Xác định các phần của đường tròn được chia bởi parabol (P).

+) Sử dụng công thức tính diện tích hình phẳng để tính diện tích hai phần được chia sau đó tính tỉ số của hai phần diện tích.

Lời giải chi tiết

Đường tròn đã cho có phương trình: \({x^{2}} + {\rm{ }}{y^2} = {\rm{ }}8.\)

Từ đó ta có: \(y =  \pm \sqrt {8 - {x^2}} \)

Tọa độ giao điểm của \((C)\) và \((P)\) là nghiệm của hệ phương trình: 

\(\left\{ \matrix{
{x^2} = 2y \hfill \cr
{x^2} + {y^2} = 8 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{y^2} + 2y - 8 = 0 \hfill \cr
{x^2} = 2y \hfill \cr} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ \left[ \begin{array}{l} y = 2\;\;\left( {tm} \right)\\y = - 4\;\;\left( {ktm} \right)\end{array} \right. \hfill \cr x^2=2y \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{y = 2 \hfill \cr x = \pm 2 \hfill \cr} \right.\)

Gọi \(S_1\) và \(S_2\) là diện tích hai phần của đường tròn được chia bởi parabol \((P)\) như hình vẽ.

Khi đó ta có:

\(\begin{array}{l}{S_1} = \int\limits_{ - 2}^2 {\left( {\sqrt {8 - {x^2}}  - \frac{{{x^2}}}{2}} \right)dx} \\ = \int\limits_{ - 2}^2 {\sqrt {8 - {x^2}} dx}  - \int\limits_{ - 2}^2 {\frac{{{x^2}}}{2}dx} \\ = {I_1} - {I_2}\end{array}\)

Tính \({I_1} = \int\limits_{ - 2}^2 {\sqrt {8 - {x^2}} dx} \)

Đặt \(x = 2\sqrt 2 \sin t \Rightarrow dx = 2\sqrt 2 {\mathop{\rm costdt}\nolimits} \)

Đổi cận:

\(\eqalign{
& x = -2 \Rightarrow t = -{\pi \over 4} \cr
& x = 2 \Rightarrow t = {\pi \over 4} \cr} \)

\(\begin{array}{l}{I_1} = \int\limits_{ - \frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{4}} {\sqrt {8 - 8{{\sin }^2}t} .2\sqrt 2 \cos tdt} \\ = \int\limits_{ - \frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{4}} {\sqrt {8\left( {1 - {{\sin }^2}t} \right)} .2\sqrt 2 \cos tdt} \\ = \int\limits_{ - \frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{4}} {\sqrt {8{{\cos }^2}t} .2\sqrt 2 \cos tdt} \\ = \int\limits_{ - \frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{4}} {2\sqrt 2 \cos t.2\sqrt 2 \cos tdt} \\ = \int\limits_{ - \frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{4}} {8{{\cos }^2}tdt} \\ = \int\limits_{ - \frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{4}} {8.\frac{{1 + \cos 2t}}{2}dt} \\ = 4\int\limits_{ - \frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{4}} {\left( {1 + \cos 2t} \right)dt} \\ = 4\left. {\left( {t + \frac{{\sin 2t}}{2}} \right)} \right|_{ - \frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{4}}\\ = 4\left( {\frac{\pi }{4} + \frac{{\sin \frac{\pi }{2}}}{2} + \frac{\pi }{4} - \frac{{\sin \left( { - \frac{\pi }{2}} \right)}}{2}} \right)\\ = 2\pi  + 4\end{array}\)

Tính \({I_2} = \int\limits_{ - 2}^2 {\frac{{{x^2}}}{2}dx} \)

\(\begin{array}{l}{I_2} = \int\limits_{ - 2}^2 {\frac{{{x^2}}}{2}dx}  = \frac{1}{2}.\left. {\frac{{{x^3}}}{3}} \right|_{ - 2}^2\\ = \frac{1}{2}\left( {\frac{8}{3} - \frac{{ - 8}}{3}} \right) = \frac{8}{3}\end{array}\)

Do đó \({S_1} = {I_1} - {I_2} = 2\pi  + 4 - \frac{8}{3} = 2\pi  + \frac{4}{3}\)

Diện tích hình tròn là: \(\pi R^2=8\pi\)

\({S_2} = 8\pi  - {S_1}\)\(= 8\pi-2\pi  - {4 \over 3}=6\pi-{4\over 3}.\)

Vậy \({{{S_2}} \over {{S_1}}} = \frac{{6\pi  - \frac{4}{3}}}{{2\pi  + \frac{4}{3}}} = \frac{{18\pi  - 4}}{{6\pi  + 4}} = {{9\pi  - 2} \over {3\pi  + 2}}\) hay \(\dfrac{{{S_1}}}{{{S_2}}} = \dfrac{{3\pi  + 2}}{{9\pi  - 2}}\)

Loigiaihay.com


Bình chọn:
3.9 trên 19 phiếu

Luyện Bài tập trắc nghiệm môn Toán lớp 12 - Xem ngay

>> Luyện thi tốt nghiệp THPT và Đại học năm 2021, mọi lúc, mọi nơi tất cả các môn cùng các thầy cô giỏi nổi tiếng, dạy hay dễ hiểu trên Tuyensinh247.com. Đã có đầy đủ các khóa học từ nền tảng tới luyện thi chuyên sâu.


Gửi bài