Bài 5 trang 121 SGK Giải tích 12

Bình chọn:
3.2 trên 5 phiếu

Giải bài 5 trang 121 SGK Giải tích 12. Cho tam giác vuông OPM có cạnh OP nằm trên trục Ox.Tính thể tích của khối tròn xoay.

Đề bài

Cho tam giác vuông \(OPM\) có cạnh \(OP\) nằm trên trục \(Ox\). Đặt  \(\widehat {POM} = \alpha \)

và \(OM = R\), \(\left( {0 \le \alpha  \le {\pi  \over 3},R > 0} \right)\)

Gọi   là khối tròn xoay thu được khi quay tam giác đó xung quanh \(Ox\) (H.63).

a) Tính thể tích của  theo \(α\) và \(R\).      

b) Tìm \(α\) sao cho thể tích  là lớn nhất.  

  

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Hình phẳng cần tính thể tích được giới hạn bởi đoạn thẳng \(OM, \, \, MP\) và trục hoành.

+) Xác định phương trình đường thẳng \(OM\) và sử dụng công thức tính thể tích để tính thể tích khối tròn xoay   cần tính.

b) Tính được thể tích của khối tròn xoay   theo \(\alpha.\) Khảo sát hàm số \(V=V(\alpha)\) để tìm thể tích lớn nhất.

Lời giải chi tiết

a) Ta có:  \(\left\{ \begin{array}{l}{x_M} = OP = R\cos \alpha \\{y_M} = PM = R\sin \alpha \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}R = \frac{{{x_M}}}{{\cos \alpha }}\\{y_M} = \frac{{{x_M}}}{{\cos \alpha }}.\sin \alpha \end{array} \right. \Rightarrow {y_M} = x_M \tan \alpha .\)

 \( \Rightarrow \) Phương trình đường thẳng \(OM\) là: \(y=x.\ tan \alpha .\)

Khi đó thể tích của khối tròn xoay là:

 \(\begin{array}{l}V = \pi \int\limits_0^{R\cos \alpha } {{x^2}{{\tan }^2}\alpha dx}  = \left. {\pi {{\tan }^2}\alpha .\frac{{{x^3}}}{3}} \right|_0^{R\cos \alpha }\\\;\;\; = \frac{{\pi {R^3}}}{3}.{\tan ^2}\alpha .{\cos ^3}\alpha  = \frac{{\pi {R^3}}}{3}.{\sin ^2}\alpha .\cos \alpha \\\;\;\; = \frac{{\pi {R^3}}}{3}.\cos \alpha \left( {1 - {{\cos }^2}\alpha } \right) = \frac{{\pi {R^3}}}{3}\left( {\cos \alpha  - {{\cos }^3}\alpha } \right).\;\;\left( {dvtt} \right).\end{array}\)

b) Xét hàm số: \(V (\alpha) = \frac{{\pi {R^3}}}{3}\left( {\cos \alpha  - co{s^3}\alpha } \right).\)

Đặt  \( t = \cos \alpha .\)

Với  \(\alpha  \in \left[ {0;\frac{\pi }{3}} \right] \Rightarrow t \in \left[ {0;\frac{1}{2}} \right].\)

Khi đó ta xét hàm:   \(V\left( t \right) = \frac{{\pi {R^3}}}{3}\left( {t - {t^3}} \right)\)  trên \(\left[ {0;\;\frac{1}{2}} \right].\)

Có:  \(V'\left( t \right) = \frac{{\pi {R^3}}}{3}\left( {1 - 3{t^2}} \right) \Rightarrow V'\left( t \right) = 0\)

 \( \Leftrightarrow 1 - 3{t^2} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = \frac{{\sqrt 3 }}{3}\;\;\left( {tm} \right)\\t =  - \frac{{\sqrt 3 }}{3}\;\;\left( {ktm} \right)\end{array} \right..\)

Ta có bảng biến thiên:

 

 \( \Rightarrow \) Hàm số đạt giá trị lớn nhất khi  \(t = \frac{{\sqrt 3 }}{3} \Rightarrow \cos \alpha  = \frac{{\sqrt 3 }}{3} \Leftrightarrow \alpha  = \arccos \frac{{\sqrt 3 }}{3} \Leftrightarrow \alpha  = \arccos \frac{{\sqrt 3 }}{3}.\)

Vậy thể tích khối   lớn nhất khi \(\alpha  = \arccos \frac{{\sqrt 3 }}{3}.\)

loigiaihay.com

Luyện Bài tập trắc nghiệm môn Toán lớp 12 - Xem ngay

>>Học trực tuyến luyện thi THPTQG, Đại học 2019, mọi lúc, mọi nơi tất cả các môn. Các thầy cô giỏi nổi tiếng, dạy hay dễ hiểu

Các bài liên quan