Lý thuyết ứng dụng tích phân trong hình học


1. Tính diện tích hình phẳng. 2. Thể tích vật thể 3. Thể tích khối tròn xoay

1. Tính diện tích hình phẳng

a) Nếu hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f(x)\) liên tục trên đoạn \([a;b]\); trục hoành và hai đường thẳng \(x = a; x = b\), thì diện tích \(S\) được cho bởi công thức:

\(S = \int_a^b {\left| {f(x)} \right|} dx\)             (1)

Chú ý: Để tính tích phân trên, ta xét dấu của \(f(x)\) trên đoạn \([a,b]\). Nếu \(f(x)\) không đổi dấu trên khoảng \((c;d) ⊂ [a;b]\) thì :

\(\int_c^d {\left| {f(x)} \right|} dx = \left| {\int_c^d f (x)dx} \right|\)

Chẳng hạn ta có:

\(\int_a^b {\left| {f(x)} \right|} dx = \left| {\int_a^{{c_1}} f (x)dx} \right| + \left| {\int_{{c_1}}^{{c_2}} f (x)dx} \right| \)\(+ \left| {\int_{{c_2}}^{{c_3}} f (x)dx} \right| + \left| {\int_{{c_3}}^b f (x)dx} \right|\) 

b) Nếu hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số \(y = {\rm{ }}{f_1}\left( x \right)\) và  \(y = {\rm{ }}{f_2}\left( x \right)\) liên tục trên đoạn [a;b] và hai đường thẳng \( x = a, x = b\) thì diện tích \(S\) được cho bởi công thức :

\(\int_a^b {\left| {{f_1}(x) - {f_2}(x)} \right|} dx\)         (2)

Chú ý: Để tính tích phân trên, ta xét dấu \(f\left( x \right) = \;{f_1}\left( x \right){\rm{ }}\; - {\rm{ }}{f_2}\left( x \right)\) trên đoạn \([a;b]\) hoặc tìm nghiệm của nó trên khoảng \((a;b)\), sau đó áp dụng tính chất nêu ở chú ý trên. Cụ thể ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Giải phương trình: \({f_1}\left( x \right){\rm{ }}\; - {\rm{ }}{f_2}\left( x \right){\rm{ }} = {\rm{ }}0\), tìm các nghiệm \({x_i}\; \in {\rm{ }}\left( {a;b} \right)\)

Bước 2 : Sắp xếp các nghiệm theo thứ tự tăng dần, chẳng hạn có n nghiệm:

\[{x_{1\;}} < {\rm{ }}{x_2}\; < {\rm{ }} \ldots {\rm{ }} < {\rm{ }}{x_{n.}}\]

Bước 3: Tính diện tích theo công thức (*):

\(S = \int_a {^b} \left| {f(x)} \right|dx = \left| {\int_a^{{x_1}} f (x)dx} \right| + \left| {\int_{{x_1}}^{{x_2}} f (x)dx} \right| + ... + \left| {\int_{{x_n}}^b f (x)dx} \right|\)

Nếu hình phẳng nói trên không cho giới hạn bởi hai đường thẳng \(x = a, x = b\) thì ta tìm các nghiệm trên tập xác định và trong công thức (*), a được thay thế bởi \({x_1}\), b được thay thế bởi \({x_n}\).

Công thức (1) là trường hợp đặc biệt của công thức (2) khi \(y{\rm{ }} = {\rm{ }}{f_1}\left( x \right) = {\rm{ }}0\) hoặc \(y{\rm{ }} = {\rm{ }}{f_2}\left( x \right){\rm{ =  }}0\)

Tương tự, hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số \(\;x{\rm{ }} = {\rm{ }}{g_1}\left( y \right),\;x{\rm{ }} = {\rm{ }}{g_2}\left( y \right)\) liên tục trên đoạn \([c;d]\) và hai đường thẳng \(y = c, y = d\) có diện tích được cho bởi công thức: $$S = \int_c^d {\left| {{g_1}(y) - {g_2}(y)} \right|} dy$$

2. Thể tích vật thể

Một vật thể được giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục hoành tại điểm có hoành độ \(x = a, x = b (a<b)\). \(S(x)\) là diện tích của thiết diện. Thể tích của vật thể được cho bởi công thức: \(V = \int_a^b S (x)dx\) (với \(S(x)\) là hàm số không âm, liên tục trên đoạn \([a;b]\)).

3. Thể tích khối tròn xoay

a) Hình phẳng quay quanh trục \(Ox\): Cho hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f(x)\) không âm và liên tục trên đoạn \([a;b]\), trục \(Ox\) và hai đường thẳng \(x = a, x = b\) quay quanh trục \(Ox\), ta được khối tròn xoay (h.4). Thể tích  \({V_x}\) của khối tròn xoay này được cho bởi công thức: $${V_x} = \pi {\int_a^b {\left[ {f(x)} \right]} ^2}dx.$$

b) Hình phẳng quay quanh trục \(Oy\) (kiến thức bổ sung): Cho hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số \(x = g(y)\) không âm và liên tục trên đoạn \([c;d]\), trục \(Oy\) và hai đường thẳng \(y = c, y = d\) quay quanh trục \(Oy\), ta được khối tròn xoay. Thể tích Vy của khối tròn xoay này được cho bởi công thức: $${V_y} = \pi {\int_c^d {\left[ {g(y)} \right]} ^2}dy.$$

Chú ý. Thể tích của vật thể tạo bởi hình phẳng được giới hạn bởi hai đường thẳng \(x = a\), \(x = b\) và đồ thị hàm số \(y{\rm{ }} = {\rm{ }}{f_1}\left( x \right),{\rm{ }}y{\rm{ }} = {\rm{ }}{f_2}\left( x \right)\) liên tục và \(0\; \le \;\;{f_1}\left( x \right)\; \le {\rm{ }}{f_2}\left( x \right)\) trên đoạn \([a;b]\) quay quanh trục \(Ox\) được cho bởi công thức: $${V_x} = \pi \int_a^b {\left[ {{{({f_2}(x))}^2} - {{({f_1}(x))}^2}} \right]} dx$$

Tương tự, đổi vai trò \(x\) và \(y\) cho nhau, ta có công thức tính  \({V_y}\) (khi hình phẳng quay quanh trục \(Oy\)).

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.3 trên 13 phiếu

Luyện Bài tập trắc nghiệm môn Toán lớp 12 - Xem ngay

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2022 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.