Giải bài 1 trang 121 SGK Giải tích 12


Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:

GÓP Ý HAY - NHẬN NGAY QUÀ CHẤT

Gửi góp ý cho Loigiaihay.com và nhận về những phần quà hấp dẫn

Video hướng dẫn giải

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:

LG a

a) \(y={x^2},y =x + 2\);   

Phương pháp giải:

Cho hai hàm số  \(y = f\left( x \right);\;\;y = g\left( x \right)\) liên tục trên đoạn  \(\left[ {a;\;b} \right]\). Gọi \(D\) là hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hai hàm số trên và các đường thẳng  \(x = a;\;\;x = b\). Khi đó diện tích của hình phẳng \(D\) được tính bởi công thức: \({S_D} = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|dx} .\)

Lời giải chi tiết:

Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị là: \(f(x) = x^2-x -2 =0 \) \(⇔(x+1)(x-2)=0 \) \( ⇔\left[ \begin{array}{l}x + 1=0\\x - 2=0\end{array} \right. \) \( ⇔ \left[ \begin{array}{l}x = - 1\\x = 2\end{array} \right..\)

Diện tích hình phẳng cần tìm là:

\(S=\int_{-1}^{2}\left |x^{2}- x- 2 \right |dx\) \( = \left | \int_{-1}^{2}\left (x^{2}- x- 2 \right ) dx \right |\)

\(=\left |\dfrac{x^{3}}{3}-\dfrac{x^{2}}{2}-2x|_{-1}^{2} \right |\) \(=\left |\dfrac{8}{3}-2-4-(-\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{2}+2) \right |\) \(=\dfrac{9}{2}\) (đvdt).

LG b

b) \(y = |lnx|, y = 1\);

Lời giải chi tiết:

Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị là:

\(f(x) = 1 - |\ln x| = 0  ⇔ \ln x = ± 1\) \(⇔\left[ \begin{array}{l}x = e\\x =  \dfrac{1}{e}\end{array} \right..\) 

    

Ta có:  \(y = |\ln x| = \ln x\)  nếu  \(\ln x ≥ 0\),  tức là  \(x ≥ 1\).

hoặc  \(y = |\ln x| = - \ln x\)  nếu  \(\ln x < 0\), tức là  \(0 < x < 1\).

Dựa vào đồ thị hàm số vẽ ở hình trên ta có diện tích cần tìm là :  

\(S=\int_{\frac{1}{e}}^{e}|1- |\ln x||dx \) \(=\int_{\frac{1}{e}}^{1}(1+\ln x)dx\) \( +\int_{1}^{e}(1-\ln x)dx\)

\(= x|_{\frac{1}{e}}^{1}+\int_{\frac{1}{e}}^{1}\ln xdx +x|_{1}^{e}-\int_{1}^{e}\ln xdx\)

\( = \left( {1 - \dfrac{1}{e}} \right) + \int\limits_{1/e}^1 {\ln xdx} \) \( + \left( {e - 1} \right) - \int\limits_1^e {\ln xdx} \)

\(=-\dfrac{1}{e}+e+\int_{\frac{1}{e}}^{1}\ln x dx-\int_{1}^{e}\ln xdx\)

Tính \(\int {\ln xdx} \) ta có:

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = \ln x\\dv = dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = \dfrac{1}{x}dx\\v = x\end{array} \right.\)

Do đó  \(∫\ln xdx = x\ln x - ∫dx \) \(= x\ln x  –  x  + C\), thay vào trên ta được:

\(S=e-\dfrac{1}{e}+(x\ln x-x)|_{\frac{1}{e}}^{1}\) \(- (x\ln x-x)|_{1}^{e}\) \( = e - \dfrac{1}{e}\)\( + \left[ {\left( {1\ln 1 - 1} \right) - \left( {\dfrac{1}{e}\ln \dfrac{1}{e} - \dfrac{1}{e}} \right)} \right]\)  \( - \left[ {\left( {e\ln e - e} \right) - \left( {1\ln 1 - 1} \right)} \right]\)

\( = e - \dfrac{1}{e}\)\( + \left[ {\left( {0 - 1} \right) - \left( {\dfrac{1}{e}.\left( { - 1} \right) - \dfrac{1}{e}} \right)} \right]\)  \( - \left[ {\left( {e.1 - e} \right) - \left( {0 - 1} \right)} \right]\)

\( = e - \dfrac{1}{e} + \left( { - 1 + \dfrac{2}{e}} \right) - \left( {0 + 1} \right)\) \( = e - \dfrac{1}{e} - 1 + \dfrac{2}{e} - 1\)

\(=e+\dfrac{1}{e}-2\) (đvdt).

LG c

c) \(y = {\left( x-6 \right)}^2,y = 6x-{x^2}\) 

Lời giải chi tiết:

Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị là:

\(f\left( x \right) =6x-{x^2}-{\left( {x -6} \right)^2} \) \(= - 2({x^2}-9x+ 18)=0\)

\( \Leftrightarrow {x^2} - 9x + 18 = 0\) \(⇔ (x-3)(x-6)=0\) \(⇔ \left[ \begin{array}{l}x - 3=0\\x - 6=0\end{array} \right.\) \(⇔\left[ \begin{array}{l}x = 3\\x = 6\end{array} \right..\)

Diện tích cần tìm là:

\(S=\int_{3}^{6}|-2(x^{2}-9x+18)|dx\) \(=|2\int_{3}^{6}(x^{2}-9x+18)dx|\)

\(=\left |2(\dfrac{x^{3}}{3}-\dfrac{9}{2}x^{2}+18x)|_{3}^{6} \right | \)

\( = |2\left( {\dfrac{{{6^3}}}{3} - \dfrac{9}{2}{{.6}^2} + 18.6} \right)\) \( - 2\left( {\dfrac{{{3^3}}}{3} - \dfrac{9}{2}{{.3}^2} + 18.3} \right)|\)

\( =|36-45|=9 \, \, (đvdt)\).

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4 trên 49 phiếu

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 12 - Xem ngay

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí