Bài 1 trang 121 SGK Giải tích 12

Bình chọn:
3.6 trên 23 phiếu

Giải bài 1 trang 121 SGK Giải tích 12. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:

Đề bài

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:

a) \(y={x^2},y =x + 2\);   

b) \(y = |lnx|, y = 1\);

c) \(y = {\left( x-6 \right)}^2,y = 6x-{x^2}\) 

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Cho hai hàm số  \(y = f\left( x \right);\;\;y = g\left( x \right)\) liên tục trên đoạn  \(\left[ {a;\;b} \right]\). Gọi \(D\) là hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hai hàm số trên và các đường thẳng  \(x = a;\;\;x = b\). Khi đó diện tích của hình phẳng \(D\) được tính bởi công thức: \[{S_D} = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|dx} .\]

Lời giải chi tiết

a) Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị là:  \(f(x) = x^2-x -2 =0 ⇔(x+1)(x-2)=0 \\ ⇔\left[ \begin{array}{l}x + 1=0\\x - 2=0\end{array} \right. ⇔ \left[ \begin{array}{l}x = - 1\\x = 2\end{array} \right..\) 

Diện tích hình phẳng cần tìm là :

\(S=\int_{-1}^{2}\left |x^{2}- x- 2 \right |dx = \left | \int_{-1}^{2}\left (x^{2}- x- 2 \right ) dx \right |\)

    \(=\left |\frac{x^{3}}{3}-\frac{x^{2}}{2}-2x|_{-1}^{2} \right |=\left |\frac{8}{3}-2-4-(\frac{1}{3}-\frac{1}{2}+2) \right |\)\(=\tfrac{9}{2}\) (đvdt).

b) Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị là: 

\(f(x) = 1 - |lnx| = 0  ⇔ lnx = ± 1⇔\left[ \begin{array}{l}x = e\\x =  \frac{1}{e}\end{array} \right..\) 

                                                 

Ta có:  \(y = |lnx| = lnx\)  nếu  \(lnx ≥ 0\),  tức là  \(x ≥ 1\).

hoặc  \(y = |lnx| = - lnx\)  nếu  \(lnx < 0\), tức là  \(0 < x < 1\).

Dựa vào đồ thị hàm số vẽ ở hình trên ta có diện tích cần tìm là :  

\(S=\int_{\frac{1}{e}}^{e}|1- |lnx||dx =\int_{\frac{1}{e}}^{1}(1+lnx)dx +\int_{1}^{e}(1-lnx)dx\)

     \(= x|_{\frac{1}{e}}^{1}+\int_{\frac{1}{e}}^{1}lnxdx +x|_{1}^{e}-\int_{1}^{e}lnxdx\)

     \(=-\frac{1}{e}+e+\int_{\frac{1}{e}}^{1}lndx-\int_{1}^{e}lnxdx\) 

Ta có  \(∫lnxdx = xlnx - ∫dx = xlnx  –  x  + C\),  thay vào trên ta được  :

\(S=e-\frac{1}{e}+(xlnx-x)|_{\frac{1}{e}}^{1}- (xlnx-x)|_{1}^{e}=e+\frac{1}{e}-2\) (đvdt).

c) Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị là:

\(f\left( x \right) =6x-{x^2}-{\left( {x -6} \right)^2} = - 2({x^2}-9x+ 18)=0\)

\(⇔  - 2({x^2}-9x+ 18) ⇔ (x-3)(x-6)=0\\⇔ \left[ \begin{array}{l}x - 3=0\\x - 6=0\end{array} \right.⇔\left[ \begin{array}{l}x = 3\\x = 6\end{array} \right..\) 

Diện tích cần tìm là:

\(S=\int_{3}^{6}|-2(x^{2}-9x+18)|dx\)

\(=|2\int_{3}^{6}(x^{2}-9x+18)dx|\)

\(=\left |2(\frac{x^{3}}{3}-\frac{9}{2}x^{2}+18x)|_{3}^{6} \right | \\ =45-36=9 \, \, (đvdt)\).

loigiaihay.com

Luyện Bài tập trắc nghiệm môn Toán lớp 12 - Xem ngay

>>Học trực tuyến luyện thi THPTQG, Đại học 2019, mọi lúc, mọi nơi tất cả các môn. Các thầy cô giỏi nổi tiếng, dạy hay dễ hiểu

Các bài liên quan