Lớp 12
Lớp 11
Lớp 10
Lớp 9
Lớp 8
Lớp 7
Lớp 6
Lớp 5
Lớp 4
Lớp 3
Lớp 2
Lớp 1
Đề bài
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:
a) \(y={x^2},y =x + 2\);
b) \(y = |lnx|, y = 1\);
c) \(y = {\left( x-6 \right)}^2,y = 6x-{x^2}\)
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Cho hai hàm số \(y = f\left( x \right);\;\;y = g\left( x \right)\) liên tục trên đoạn \(\left[ {a;\;b} \right]\). Gọi \(D\) là hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hai hàm số trên và các đường thẳng \(x = a;\;\;x = b\). Khi đó diện tích của hình phẳng \(D\) được tính bởi công thức: \[{S_D} = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|dx} .\]
Lời giải chi tiết
a) Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị là: \(f(x) = x^2-x -2 =0 ⇔(x+1)(x-2)=0 \\ ⇔\left[ \begin{array}{l}x + 1=0\\x - 2=0\end{array} \right. ⇔ \left[ \begin{array}{l}x = - 1\\x = 2\end{array} \right..\)
Diện tích hình phẳng cần tìm là:
\(S=\int_{-1}^{2}\left |x^{2}- x- 2 \right |dx = \left | \int_{-1}^{2}\left (x^{2}- x- 2 \right ) dx \right |\)
\(=\left |\dfrac{x^{3}}{3}-\dfrac{x^{2}}{2}-2x|_{-1}^{2} \right |=\left |\dfrac{8}{3}-2-4-(-\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{2}+2) \right |\) \(=\dfrac{9}{2}\) (đvdt).
b) Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị là:
\(f(x) = 1 - |\ln x| = 0 ⇔ \ln x = ± 1\) \(⇔\left[ \begin{array}{l}x = e\\x = \dfrac{1}{e}\end{array} \right..\)
Ta có: \(y = |\ln x| = \ln x\) nếu \(\ln x ≥ 0\), tức là \(x ≥ 1\).
hoặc \(y = |\ln x| = - \ln x\) nếu \(\ln x < 0\), tức là \(0 < x < 1\).
Dựa vào đồ thị hàm số vẽ ở hình trên ta có diện tích cần tìm là :
\(S=\int_{\frac{1}{e}}^{e}|1- |\ln x||dx =\int_{\frac{1}{e}}^{1}(1+\ln x)dx +\int_{1}^{e}(1-\ln x)dx\)
\(= x|_{\frac{1}{e}}^{1}+\int_{\frac{1}{e}}^{1}\ln xdx +x|_{1}^{e}-\int_{1}^{e}\ln xdx\)
\(=-\dfrac{1}{e}+e+\int_{\frac{1}{e}}^{1}\ln x dx-\int_{1}^{e}\ln xdx\)
Tính \(\int {\ln xdx} \) ta có:
Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = \ln x\\dv = dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = \dfrac{1}{x}dx\\v = x\end{array} \right.\)
Do đó \(∫\ln xdx = x\ln x - ∫dx = x\ln x – x + C\), thay vào trên ta được:
\(S=e-\dfrac{1}{e}+(x\ln x-x)|_{\frac{1}{e}}^{1}- (x\ln x-x)|_{1}^{e}=e+\dfrac{1}{e}-2\) (đvdt).
c) Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị là:
\(f\left( x \right) =6x-{x^2}-{\left( {x -6} \right)^2} = - 2({x^2}-9x+ 18)=0\)
\(⇔ - 2({x^2}-9x+ 18) ⇔ (x-3)(x-6)=0\\⇔ \left[ \begin{array}{l}x - 3=0\\x - 6=0\end{array} \right.⇔\left[ \begin{array}{l}x = 3\\x = 6\end{array} \right..\)
Diện tích cần tìm là:
\(S=\int_{3}^{6}|-2(x^{2}-9x+18)|dx\) \(=|2\int_{3}^{6}(x^{2}-9x+18)dx|\)
\(=\left |2(\dfrac{x^{3}}{3}-\dfrac{9}{2}x^{2}+18x)|_{3}^{6} \right | \\ =45-36=9 \, \, (đvdt)\).
loigiaihay.com
Luyện Bài tập trắc nghiệm môn Toán lớp 12 - Xem ngay
Các bài liên quan: - Bài 3. Ứng dụng của tích phân trong hình học.
Bài 2 trang 121 SGK Giải tích 12
Giải bài 2 trang 121 SGK Giải tích 12. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:
Bài 3 trang 121 SGK Giải tích 12
Giải bài 3 trang 121 SGK Giải tích 12. Parabol chia hình tròn có tâm tại gốc tọa độ, bán kính thành hai phần. Tìm tỉ số diện tích của chúng
Bài 4 trang 121 SGK Giải tích 12
Giải bài 4 trang 121 SGK Giải tích 12. Tính thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường sau quay quanh trục Ox.
Bài 5 trang 121 SGK Giải tích 12
Giải bài 5 trang 121 SGK Giải tích 12. Cho tam giác vuông OPM có cạnh OP nằm trên trục Ox.Tính thể tích của khối tròn xoay.
Lý thuyết hàm số mũ, hàm số lôgarit
1. Định nghĩa
Lý thuyết bất phương trình mũ và bất phương trình lôgarit
1. Khái quát
Lý thuyết hàm số lũy thừa
1. Khái niệm hàm số lũy thừa
Lý thuyết phép chia số phức
Nhân cả tử và mẫu với a - bi (số phức liên hợp của mẫu).
>>Học trực tuyến luyện thi THPTQG, Đại học 2019, mọi lúc, mọi nơi tất cả các môn cùng các thầy cô giỏi nổi tiếng, dạy hay dễ hiểu trên Tuyensinh247.com.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Các bài khác cùng chuyên mục
