Bài 4 trang 121 SGK Giải tích 12

Bình chọn:
3.5 trên 19 phiếu

Giải bài 4 trang 121 SGK Giải tích 12. Tính thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường sau quay quanh trục Ox.

Đề bài

Tính thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường sau quay quanh trục \(Ox\):

a) \(y = 1 - x^2\), \(y = 0\) ;

b) \(y = cosx, y = 0, x = 0, x = π\) ;

c) \(y = tanx, y = 0, x = 0\), \(x=\frac{\pi }{4}\) ;

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Cho hình phẳng được giới hạn bởi hai đồ thị hàm số  \(y = f\left( x \right);\;\;y = g\left( x \right) \, \) và hai đường thẳng \(x=a; \, \, x=b \, \, \, (a<b).\) Khi quay hình phẳng trên quanh trục \(Ox\) ta được khối tròn xoay có thể tích được tính bởi công thức:  \(V = \pi \int\limits_a^b {\left| {{f^2}\left( x \right) - {g^2}\left( x \right)} \right|dx} .\)

Lời giải chi tiết

a) Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số là:  \(1 - x^2= 0 ⇔ x = ±1\).

Khi đó thể tích khối tròn xoay cần tìm là :

\(V=\pi \int_{-1}^{1}(1-x^{2})^{2}dx=2\pi \int_{0}^{1}(x^{4}-2x^{2}+1)dx\)

     \(=2\pi \left (\frac{x^{5}}{5}- \frac{2}{3}x^{3}+x \right )|_{0}^{1}=2\pi\left ( \frac{1}{5}-\frac{2}{3}+1 \right )=\frac{16\pi}{15}.\)

b) Thể tích cần tìm là:

\(V= \pi \int_{0}^{\pi }cos^{2}xdx =\frac{\pi }{2}\int_{0}^{\pi}(1+cos2x)dx\)

     \(=\frac{\pi }{2}\left (x+\frac{1}{2}sin2x \right )|_{0}^{\pi }=\frac{\pi }{2}.\pi =\frac{\pi ^{2}}{2}\)

c) Thể tích cần tìm là:

\(V=\pi\int_{0}^{\frac{\pi }{4}}tan^{2}xdx=\pi\int_{0}^{\frac{\pi }{4} }\left (\frac{1}{cos^{2}x}-1 \right )dx\)

     \(=\pi \left (tanx-x \right )|_{0}^{\frac{\pi }{4}}=\pi (1-\frac{\pi }{4})\)

     \(=\frac{\pi(4-\pi)}{4}\).

loigiaihay.com

Luyện Bài tập trắc nghiệm môn Toán lớp 12 - Xem ngay

>>Học trực tuyến luyện thi THPTQG, Đại học 2019, mọi lúc, mọi nơi tất cả các môn. Các thầy cô giỏi nổi tiếng, dạy hay dễ hiểu



Các bài liên quan