Ôn tập chương III - Phương pháp tọa độ trong không gian

Bài 93 trang 140 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao

Trong không gian tọa độ Oxyz cho bốn điểm

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Trong không gian tọa độ Oxyz cho bốn điểm A(-2; 1; 2), B(0; 4; 1), C(5;1;-5), D(-2; 8; -5) và đường thẳng \(d:{{x + 5} \over 3} = {{y + 11} \over 5} = {{z - 9} \over { - 4}}.\)

LG a

Chứng minh A, B, C, D là bốn đỉnh của 1 tứ diện.

Lời giải chi tiết:

Ta có \(\overrightarrow {AB} = {\rm{ }}\left( {2{\rm{ }};{\rm{ }}3{\rm{ }};{\rm{ }} - 1} \right),\overrightarrow {AC} = {\rm{ }}\left( {7{\rm{ }};{\rm{ }}0{\rm{ }};{\rm{ }} - 7} \right),\) suy ra

\(\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {\left| {\matrix{ 3 & { - 1} \cr 0 & { - 7} \cr } } \right|;\left| {\matrix{ { - 1} & 2 \cr { - 7} & 7 \cr } } \right|;\left| {\matrix{ 2 & 3 \cr 7 & 0 \cr } } \right|} \right) \)

\(= ( - 21;7; - 21).\)

Lại có \(\overrightarrow {AD} = {\rm{ }}\left( {0{\rm{ }};{\rm{ }}7{\rm{ }};{\rm{ }} - 7} \right)\) nên \(\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right].\overrightarrow {AD} = {\rm{ }}49{\rm{ }} + {\rm{ }}147 \ne 0\)

Do đó A, B, C, D là các đỉnh của một tứ diện.

LG b

Tính thể tích khối tứ diện ABCD.

Lời giải chi tiết:

\({V_{ABCD}} = {1 \over 6}\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right].\overrightarrow {AD} } \right| = {{196} \over 6} = {{98} \over 3}.\)

LG c

Viết phương trình mặt cầu (S) ngoại tiếp tứ diện ABCD

Lời giải chi tiết:

Gọi \(I(x{\rm{ }};y;z)\) là tâm của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện, ta có :

\(\left\{ \matrix{ I{A^2} = I{B^2} \hfill \cr {IA^2} = I{C^2} \hfill \cr {IA^2} = I{D^2}. \hfill \cr} \right.\)

Từ đó suy ra \(x = - 2,y = 1,z{\rm{ }} = - 5.\) Vậy \(I = {\rm{ }}\left( { - 2{\rm{ }};{\rm{ }}1; - 5} \right)\) và R = IA = 7.

Do đó, mặt cầu (S) ngoại tiếp tứ diện ABCD có phương trình :

\(\left( S \right){\rm{ }}:{\left( {x{\rm{ }} + {\rm{ }}2} \right)^2}{\rm{ }} + {\rm{ }}{(y - {\rm{ }}1)^2} + {(z{\rm{ }} + 5)^2} = {\rm{ }}49.\)

LG d

Tìm tọa độ các giao điểm M, N của đường thẳng d với mặt cầu (S).

Lời giải chi tiết:

Dạng tham số của đường thẳng d là :

\(\left\{ \matrix{ x{\rm{ }} = - 5{\rm{ }} + {\rm{ }}3t \hfill \cr y = {\rm{ }} - 11{\rm{ }} + 5t \hfill \cr z = {\rm{ }}9{\rm{ }} - 4t. \hfill \cr} \right.\)

Toạ độ \(\left( {x;y;{\rm{ }}z} \right)\) của giao điểm của d và (S) thoả mãn hệ :

\(\left\{ \matrix{ x{\rm{ }} = - 5{\rm{ }} + {\rm{ }}3t \hfill \cr y = {\rm{ }} - 11{\rm{ }} + 5t \hfill \cr z = {\rm{ }}9{\rm{ }} - 4t. \hfill \cr {\left( {x{\rm{ }} + {\rm{ }}2} \right)^2}{\rm{ }} + {\rm{ }}{(y - {\rm{ }}1)^2} + {(z{\rm{ }} + 5)^2} = {\rm{ }}49. \hfill \cr} \right.\)

\(\eqalign{ & = > {\left( {3t{\rm{ }} - {\rm{ }}3} \right)^2} + {\rm{ }}{\left( {5t - {\rm{ }}12} \right)^2} + {( - {\rm{ }}4t + 14)^2} = 49 \cr & \Leftrightarrow {t^2} - 5t + 6 = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{ t = 2 \hfill \cr t = 3. \hfill \cr} \right. \cr} \)

+) Khi t = 2 thì \(x = {\rm{ }}1{\rm{ }};{\rm{ }}y{\rm{ }} = - 1{\rm{ }};{\rm{ }}z{\rm{ }} = {\rm{ }}1\), ta được điểm \(M\left( {1{\rm{ }};{\rm{ }} - 1{\rm{ }};{\rm{ }}1} \right).\)

+) Khi t = 3 thì \(x{\rm{ }} = {\rm{ }}4{\rm{ }};y = {\rm{ }}4{\rm{ }};{\rm{ }}z{\rm{ }} = - 3\), ta được điểm \(N\left( {4{\rm{ }};{\rm{ }}4{\rm{ }}; - 3} \right).\)

Vậy cắt (S) tại hai điểm \(M\left( {1{\rm{ }};{\rm{ }} - 1{\rm{ }};{\rm{ }}1} \right).\) và \(N\left( {4{\rm{ }};{\rm{ }}4{\rm{ }}; - 3} \right).\)

LG e

Viết phương trình các mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu (S) tại M, N. Tính góc tạo bởi hai mặt phẳng đó.

Lời giải chi tiết:

Gọi (P) là mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu (S) tại M. Khi đó, (P) đi qua điểm \(M\left( {1{\rm{ }};{\rm{ }} - 1{\rm{ }};{\rm{ }}1} \right).\) và có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_p}} = \overrightarrow {IM} = {\rm{ }}\left( {3{\rm{ }}; - 2{\rm{ }};{\rm{ }}6} \right).\)

Vậy phương trình của (P) là:

\(3\left( {x{\rm{ }} - {\rm{ }}1} \right){\rm{ }} - 2(y{\rm{ }} + 1){\rm{ }} + {\rm{ }}6\left( {z{\rm{ }} - {\rm{ }}1} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}0\)

\(\Leftrightarrow 3x - 2y + 6z - 11 = 0.\)

Gọi (Q) là mặt phẳng tiếp xúc với (S) tại N. Khi đó, mp(Q) đi qua điểm \(N\left( {4{\rm{ }};{\rm{ }}4{\rm{ }}; - 3} \right)\) và có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_Q}} = \overrightarrow {IN} = \left( {6{\rm{ }};{\rm{ }}3{\rm{ }};{\rm{ }}2} \right).\)

Vậy phương trình của (Q) là :

\(6(x - {\rm{ }}4) + 3\left( {y{\rm{ }} - {\rm{ }}4} \right) + {\rm{ }}2\left( {z{\rm{ }} + {\rm{ }}3} \right) = 0\)

\(\Leftrightarrow 6x + 3y + 2z - 30 = 0.\)

Gọi \(\varphi \) là góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q), ta có

\(\cos \varphi = {{\left| {\overrightarrow {{n_P}} .\overrightarrow {{n_Q}} } \right|} \over {\left| {\overrightarrow {{n_P}} } \right|\left| {\overrightarrow {{n_Q}} } \right|}} = {{\left| {18 - 6 + 12} \right|} \over {\sqrt {9 + 4 + 36} .\sqrt {36 + 9 + 4} }} = {{24} \over {49}}.\)

Loigiaihay.com