Toán 12 - Giải toán 12, giải bài tập toán lớp 12 đại số, hình học Bài 1. Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số

Giải bài 5 trang 10 SGK Giải tích 12


Chứng minh các bất đẳng thức sau:

Video hướng dẫn giải

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

LG a

Chứng minh các bất đẳng thức sau:

\(\tan x>x\ \ \left( 0<x<\frac{\pi }{2} \right).\)

Phương pháp giải:

+) Chuyển vế tất cả các biểu thức chứa biến sang vế trái sau đó so sánh hàm số \(y\left( x \right)\) với 0.

+) Tính đạo hàm bậc nhất của hàm số \(y\left( x \right)\) và khảo sát hàm số \(y\left( x \right)\)  trên các khoảng đề bài đã cho.

+) Dựa vào tính đơn điệu của hàm số để kết luận bài toán.

Lời giải chi tiết:

\(\tan x>x\ \ \left( 0<x<\dfrac{\pi }{2} \right).\)

Xét hàm số: \(y=f\left( x \right)=\tan x-x\) với \(x\in \left( 0;\ \dfrac{\pi }{2} \right).\)

Ta có: \(y'=\dfrac{1}{{{\cos }^{2}}x}-1=\dfrac{1-{{\cos }^{2}}x}{{{\cos }^{2}}x}=\dfrac{{{\sin }^{2}}x}{{{\cos }^{2}}x}\) \(={{\tan }^{2}}x>0,\forall x\in \left( 0;\dfrac{\pi }{2} \right)\)

Vậy hàm số luôn đồng biến trên \(\left( 0;\dfrac{\pi }{2} \right).\)

\(\Rightarrow \forall \ x\in \left( 0;\dfrac{\pi }{2} \right) \text{ta có}  \, f\left( x \right)>f\left( 0 \right) \\ \Leftrightarrow \tan x-x>\tan 0-0 \\ \Leftrightarrow \tan x-x>0 \\ \Leftrightarrow \tan x>x\ \ \left( dpcm \right).\)

LG b

\(\tan x>x+\dfrac{{{x}^{3}}}{3}\ \ \left( 0<x<\frac{\pi }{2} \right).\)

Phương pháp giải:

+) Chuyển vế tất cả các biểu thức chứa biến sang vế trái sau đó so sánh hàm số \(y\left( x \right)\) với 0.

+) Tính đạo hàm bậc nhất của hàm số \(y\left( x \right)\) và khảo sát hàm số \(y\left( x \right)\)  trên các khoảng đề bài đã cho.

+) Dựa vào tính đơn điệu của hàm số để kết luận bài toán.

Lời giải chi tiết:

\(\tan x>x+\dfrac{{{x}^{3}}}{3}\ \ \left( 0<x<\dfrac{\pi }{2} \right).\)

Xét hàm số: \(y=g\left( x \right)=\tan x-x-\dfrac{{{x}^{3}}}{3}\) với \(x\in \left( 0;\ \dfrac{\pi }{2} \right).\)

Ta có: \(y'=\dfrac{1}{{{\cos }^{2}}x}-1-{{x}^{2}}=1+{{\tan }^{2}}x-1-{{x}^{2}}\\ ={{\tan }^{2}}x-{{x}^{2}}=\left( \tan x-x \right)\left( \tan x+x \right).\)

Với \(\forall \ x\in \left( 0;\dfrac{\pi }{2} \right)\Rightarrow \tan x>0\) nên ta có: \(\tan x+x>0\)  và \(\tan x-x>0\) (theo câu a) \(\Rightarrow y'>0\,\,\forall x\in \left( 0;\dfrac{\pi }{2} \right)\)

Vậy hàm số \(y=g\left( x \right)\) đồng biến trên \(\left( 0;\dfrac{\pi }{2} \right)\Rightarrow g\left( x \right)>g\left( 0 \right).\)

\(\Leftrightarrow \tan x-x-\dfrac{{{x}^{3}}}{3}>\tan 0-0-0 \\ \Leftrightarrow \tan x-x-\dfrac{{{x}^{3}}}{3}>0 \\ \Leftrightarrow \tan x>x+\dfrac{{{x}^{3}}}{3}\ \ \ \left( dpcm \right).\)

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.3 trên 59 phiếu
Bài tiếp theo

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 12 - Xem ngay

Báo lỗi - Góp ý

Group Ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Các bài khác cùng chuyên mục


App Loigiaihay trên google play store App Loigiaihay trên apple store

Copyright © 2021 loigiaihay.com

DMCA.com Protection Status
App Loigiaihay trên apple store App Loigiaihay trên google play store