Bài 4 trang 24 SGK Giải tích 12


Giải bài 4 trang 24 SGK Giải tích 12. Tính giá trị lớn nhất của các hàm số sau:

Video hướng dẫn giải

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

LG a

Tính giá trị lớn nhất của các hàm số sau:

\(y = {4 \over {1 + {x^2}}}\);

Phương pháp giải:

Để tìm GTLN, GTNN của hàm số \(y=f\left( x \right)\) trên đoạn \(\left[ a;\ b \right]\) ta làm như sau :

+) Tìm các điểm \({{x}_{1}};{{x}_{2}};{{x}_{3}};...;{{x}_{n}}\) thuộc đoạn \(\left[ a;\ b \right]\) mà tại đó hàm số có đạo hàm \(f'\left( x \right)=0\) hoặc không có đạo hàm.

+) Tính \(f\left( {{x}_{1}} \right);f\left( {{x}_{2}} \right);f\left( {{x}_{3}} \right);...;f\left( {{x}_{n}} \right)\) và \(f\left( a \right);\ f\left( b \right).\)

+) So sánh các giá trị tìm được ở trên. Giá trị lớn nhất trong các giá trị đó chính là GTLN của hàm số \(y=f\left( x \right)\) trên \(\left[ a;\ b \right]\) và giá trị nhỏ nhất trong các giá trị đó chính là GTNN của hàm số \(y=f\left( x \right)\) trên \(\left[ a;\ b \right]\).

\(\begin{align}& \underset{x\in \left[ a;\ b \right]}{\mathop{\max }}\,f\left( x \right)\cr&=\max \left\{ f\left( {{x}_{1}} \right);\ f\left( {{x}_{2}} \right);...;\ f\left( {{x}_{m}} \right);\ f\left( a \right);\ f\left( b \right) \right\}. \\ & \underset{x\in \left[ a;\ b \right]}{\mathop{\min }}\,f\left( x \right)\cr&=\min \left\{ f\left( {{x}_{1}} \right);\ f\left( {{x}_{2}} \right);...;\ f\left( {{x}_{m}} \right);\ f\left( a \right);\ f\left( b \right) \right\}. \\ \end{align}\)

Quy ước : Nếu đề bài yêu cầu tìm GTLN và GTNN của hàm số \(y=f\left( x \right)\) nhưng không chỉ rõ tìm GTLN và GTNN trên tập nào thì ta hiểu là GTLN và GTNN trên tập xác định của hàm số \(y=f\left( x \right).\)

Lời giải chi tiết:

\(y=\dfrac{4}{1+{{x}^{2}}}.\)

Tập xác định: \(D=R.\)

Ta có: \(y'=\dfrac{-2x.4}{{{\left( 1+{{x}^{2}} \right)}^{2}}}=\dfrac{-8x}{{{\left( 1+{{x}^{2}} \right)}^{2}}}\) \(\Rightarrow y'=0\Leftrightarrow 8x=0\Leftrightarrow x=0.\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } y = 0\)

Ta có bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt GTLN tại \(x=0;\) \({y_{\max }} = 4\)

Cách khác:

Ta thấy: \(1+x^2\ge 1, \forall x\) nên \(\dfrac{4}{{1 + {x^2}}} \le \dfrac{4}{1} = 4 \Rightarrow y \le 4\).

Vậy \(\max y = 4\). Dấu "=" xảy ra khi \(x=0\).

LG b

\(y = 4{x^3} - 3{x^4}\)

Lời giải chi tiết:

\(y=4{{x}^{3}}-3{{x}^{4}}.\)

Tập xác định: \(D=R.\)

Ta có: \(y'=12{{x}^{2}}-12{{x}^{3}}\) \(\Rightarrow y'=0\Leftrightarrow 12{{x}^{2}}-12{{x}^{3}}=0\) \(\Leftrightarrow \left[ \begin{align}& x=0 \\ & x=1 \\ \end{align} \right..\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } \left( {4{x^3} - 3{x^4}} \right) =  - \infty \)

Ta có bảng biến thiên:

Theo bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt GTLN tại \(x=1;\) \({y_{\max }} = 1\).

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.6 trên 33 phiếu

Luyện Bài tập trắc nghiệm môn Toán lớp 12 - Xem ngay

>> Luyện thi tốt nghiệp THPT và Đại học năm 2021, mọi lúc, mọi nơi tất cả các môn cùng các thầy cô giỏi nổi tiếng, dạy hay dễ hiểu trên Tuyensinh247.com. Đã có đầy đủ các khóa học từ nền tảng tới luyện thi chuyên sâu.


Gửi bài