Bài 3 trang 24 SGK Giải tích 12

Bình chọn:
4.1 trên 7 phiếu

Giải bài 3 trang 24 SGK Giải tích 12. Trong tất cả các hình chữ nhật cùng có diện tích ...

Đề bài

Trong tất cả các hình chữ nhật cùng có diện tích \(48 m^2\) , hãy xác định hình chữ nhật có chu vi nhỏ nhất.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

+) Cho hình chữ nhật có chiều dài là x và chiều rộng là y.

+) Chu vi của hình chữ nhật đó là: \(P=2\left( x+y \right).\)

+) Diện tích của hình chữ nhật đó là: \(S=xy.\)

Biểu diễn chiều dài theo chiều rộng bởi hàm số \(y=f\left( x \right)\). Sau đó tìm chiều rộng để chu vi của hình chữ nhật đó nhỏ nhất bằng cách xét hàm số \(P\left( x \right)\). Từ đó ta tìm được chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật.  

Lời giải chi tiết

Gọi chiều rộng và chiều dài của hình chữ nhật lần lượt là \(x;\ y\ \left( m \right),\ \ \left( x;\ y > 0 \right).\)

Theo đề bài ta có diện tích hình chữ nhật là \(48\ {{m}^{2}}\Rightarrow xy=48\Leftrightarrow y=\frac{48}{x}.\)

\(\Rightarrow \) Chu vi hình chữ nhật đó là: \(P=2\left( x+y \right)=2\left( x+\frac{48}{x} \right).\)

Xét hàm số \(P\left( x \right)=2\left( x+\frac{48}{x} \right)\) trên \(\left( 0;+\infty  \right)\) ta có:

\(\begin{array}{l}
P'\left( x \right) = 2\left( {1 - \frac{{48}}{{{x^2}}}} \right) \Rightarrow P'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow {x^2} - 48 = 0\\
\Leftrightarrow {x^2} = 48 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 4\sqrt 3 \; \in \left( {0; + \infty } \right)\\
x = - 4\sqrt 3 \;\; \notin \left( {0; + \infty } \right)
\end{array} \right..
\end{array}\)

Ta có: \(P\left( 4\sqrt{3} \right)=16\sqrt{3}.\)

\(\begin{align} & \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,P\left( x \right)=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\ 2\left( x+\frac{48}{x} \right)=+\infty . \\  & \underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,P\left( x \right)=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\ 2\left( x+\frac{48}{x} \right)=+\infty . \\  & \Rightarrow Min\ P\left( x \right)=16\sqrt{3}\ \ khi\ \ x=4\sqrt{3}. \\  & \Rightarrow y=\frac{48}{4\sqrt{3}}=4\sqrt{3}m. \\ \end{align}\)

Vậy hình chữ nhật có chu vi nhỏ nhất là hình vuông có cạnh \(4\sqrt{3}m.\)


loigiaihay.com

Luyện Bài tập trắc nghiệm môn Toán lớp 12 - Xem ngay

>>Học trực tuyến luyện thi THPTQG, Đại học 2019, mọi lúc, mọi nơi tất cả các môn. Các thầy cô giỏi nổi tiếng, dạy hay dễ hiểu

Các bài liên quan