Bài 3 trang 24 SGK Giải tích 12

Giải bài 3 trang 24 SGK Giải tích 12. Trong tất cả các hình chữ nhật cùng có diện tích ...

Đề bài

Trong tất cả các hình chữ nhật cùng có diện tích \(48 m^2\) , hãy xác định hình chữ nhật có chu vi nhỏ nhất.

Lời giải chi tiết

Gọi chiều rộng và chiều dài của hình chữ nhật lần lượt là \(x;\ y\ \left( m \right),\ \ \left( x;\ y > 0 \right).\)

Theo đề bài ta có diện tích hình chữ nhật là \(48\ {{m}^{2}}\Rightarrow xy=48\Leftrightarrow y=\frac{48}{x}.\)

\(\Rightarrow \) Chu vi hình chữ nhật đó là: \(P=2\left( x+y \right)=2\left( x+\frac{48}{x} \right).\)

Xét hàm số \(P\left( x \right)=2\left( x+\frac{48}{x} \right)\) trên \(\left( 0;+\infty  \right)\) ta có:

\(\begin{array}{l}
P'\left( x \right) = 2\left( {1 - \frac{{48}}{{{x^2}}}} \right) \Rightarrow P'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow {x^2} - 48 = 0\\
\Leftrightarrow {x^2} = 48 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 4\sqrt 3 \; \in \left( {0; + \infty } \right)\\
x = - 4\sqrt 3 \;\; \notin \left( {0; + \infty } \right)
\end{array} \right..
\end{array}\)

Ta có: \(P\left( 4\sqrt{3} \right)=16\sqrt{3}.\)

\(\begin{align} & \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,P\left( x \right)=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\ 2\left( x+\frac{48}{x} \right)=+\infty . \\  & \underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,P\left( x \right)=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\ 2\left( x+\frac{48}{x} \right)=+\infty . \\  & \Rightarrow Min\ P\left( x \right)=16\sqrt{3}\ \ khi\ \ x=4\sqrt{3}. \\  & \Rightarrow y=\frac{48}{4\sqrt{3}}=4\sqrt{3}m. \\ \end{align}\)

Vậy hình chữ nhật có chu vi nhỏ nhất là hình vuông có cạnh \(4\sqrt{3}m.\)

loigiaihay.com