Bài 1 trang 23 SGK Giải tích 12

Bình chọn:
4.8 trên 26 phiếu

Giải bài 1 trang 23 SGK Giải tích 12. Tính giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số:

Đề bài

Tính giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số:

    a) \(y{\rm{ }} = {\rm{ }}{x^3}-{\rm{ }}3{x^2}-{\rm{ }}9x{\rm{ }} + {\rm{ }}35\) trên các đoạn \([-4; 4]\) và \([0;5]\) ;

    b) \(y{\rm{ }} = {\rm{ }}{x^4}-{\rm{ }}3{x^2} + {\rm{ }}2\) trên các đoạn \([0;3]\) và \([2;5]\);

    c) \(y = {{2 - x} \over {1 - x}}\) trên các đoạn \([2;4]\) và \([-3;-2]\);

    d) \(y = \sqrt {5 - 4{\rm{x}}}\) trên đoạn \([-1;1]\).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Để tìm GTLN, GTNN của hàm số \(y=f\left( x \right)\) trên đoạn \(\left[ a;\ b \right]\) ta làm như sau :

+) Tìm các điểm \({{x}_{1}};\ {{x}_{2}};\ {{x}_{3}};......;\ {{x}_{n}}\) thuộc đoạn \(\left[ a;\ b \right]\) mà tại đó hàm số có đạo hàm \(f'\left( x \right)=0\) hoặc không có đạo hàm.

+) Tính \(f\left( {{x}_{1}} \right);\ \ f\left( {{x}_{2}} \right);\ \ f\left( {{x}_{3}} \right);........;\ \ f\left( {{x}_{n}} \right)\) và \(f\left( a \right);\ f\left( b \right).\)

+) So sánh các giá trị tìm được ở trên. Giá trị lớn nhất trong các giá trị đó chính là GTLN của hàm số \(y=f\left( x \right)\) trên \(\left[ a;\ b \right]\) và giá trị nhỏ nhất trong các giá trị đó chính là GTNN của hàm số \(y=f\left( x \right)\) trên \(\left[ a;\ b \right]\).

\(\begin{align}& \underset{x\in \left[ a;\ b \right]}{\mathop{\max }}\,f\left( x \right)=\max \left\{ f\left( {{x}_{1}} \right);\ f\left( {{x}_{2}} \right);.......;\ f\left( {{x}_{m}} \right);\ f\left( a \right);\ f\left( b \right) \right\}. \\ & \underset{x\in \left[ a;\ b \right]}{\mathop{\min }}\,f\left( x \right)=\min \left\{ f\left( {{x}_{1}} \right);\ f\left( {{x}_{2}} \right);.......;\ f\left( {{x}_{m}} \right);\ f\left( a \right);\ f\left( b \right) \right\}. \\ \end{align}\)

Lời giải chi tiết

a) \(y={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}-9x+35\)

+) Xét \(D=\left[ -4;\ 4 \right]\) có :

\(y'=3{{x}^{2}}-6x-9\Rightarrow y'=0\Leftrightarrow 3{{x}^{2}}-6x-9=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=3\ \in D \\ & x=-1\ \in D \\ \end{align} \right..\)

Ta có : \(y\left( -4 \right)=-41;\ \ y\left( 1 \right)=40;\ \ y\left( 3 \right)=8;\ \ y\left( 4 \right)=15.\)

Vậy \(\underset{x\in \left[ -4;\ 4 \right]}{\mathop{\max }}\,y=40\ \ khi\ \ x=-1\) và \(\underset{x\in \left[ -4;\ 4 \right]}{\mathop{\min }}\,y=-41\ \ khi\ \ x=-4.\)

+) Xét \(D=\left[ 0;\ 5 \right]\) có:

\(y'=3{{x}^{2}}-6x-9\Rightarrow y'=0\Leftrightarrow 3{{x}^{2}}-6x-9=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}& x=3\ \in D \\ & x=-1\ \notin D \\ \end{align} \right..\)

Ta có : \(y\left( 0 \right)=35;\ \ y\left( 3 \right)=8;\ \ y\left( 5 \right)=40.\)

Vậy \(\underset{x\in \left[ 0;\ 5 \right]}{\mathop{\max }}\,y=40\ \ khi\ \ x=5\) và \(\underset{x\in \left[ 0;\ 5 \right]}{\mathop{\min }}\,y=8\ \ khi\ \ x=3.\)

b) \(y={{x}^{4}}-3{{x}^{2}}+2\)

Ta có:\(y'=4{{x}^{3}}-6x\Rightarrow y'=0\Leftrightarrow 4{{x}^{3}}-6x=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}& x=0 \\ & x=\sqrt{\frac{3}{2}}=\frac{\sqrt{6}}{2} \\ & x=-\sqrt{\frac{3}{2}}=-\frac{\sqrt{6}}{2} \\ \end{align} \right.\)

+) Xét \(D=\left[ 0;\ 3 \right]\) có: \(x=-\frac{\sqrt{6}}{2}\notin D.\)

Có: \(y\left( 0 \right)=2;\ \ y\left( 3 \right)=56;\ \ y\left( \frac{\sqrt{6}}{2} \right)=-\frac{1}{4}.\)

Vậy \(\underset{x\in \left[ 0;\ 3 \right]}{\mathop{\min }}\,y=-\frac{1}{4}\ \ khi\ \ x=\frac{\sqrt{6}}{2}\)  và \(\underset{x\in \left[ 0;\ 3 \right]}{\mathop{\max }}\,y=56\ \ khi\ \ x=3.\)

+) Xét \(D=\left[ 2;\ 5 \right]\) ta thấy \(x=0;\ \ x=\pm \frac{\sqrt{6}}{2}\ \ \notin \ D.\)

Có \(y\left( 2 \right)=6;\ \ y\left( 5 \right)=552.\)

Vậy \(\underset{x\in \left[ 2;\ 5 \right]}{\mathop{\min }}\,y=6\ \ khi\ \ x=2\)  và \(\underset{x\in \left[ 2;\ 5 \right]}{\mathop{\max }}\,y=525\ \ khi\ \ x=5.\)

c) \(y=\frac{2-x}{1-x}=\frac{x-2}{x-1}\). Tập xác định: \(R\backslash \left\{ 1 \right\}.\)  

Ta có: \(y'=\frac{1.\left( -1 \right)-1.\left( -2 \right)}{{{\left( x-1 \right)}^{2}}}=\frac{1}{{{\left( x-1 \right)}^{2}}}>0\ \ \forall x\ne 1.\)

+) Với \(D=\left[ 2;\ 4 \right]\) có: \(y\left( 2 \right)=0;\ \ y\left( 4 \right)=\frac{2}{3}.\)

Vậy \(\underset{x\in \left[ 2;\ 4 \right]}{\mathop{\min }}\,y=0\ \ khi\ \ x=2\)  và \(\underset{x\in \left[ 2;\ 4 \right]}{\mathop{\max }}\,y=\frac{2}{3}\ \ khi\ \ x=4.\)

+) Với \(D=\left[ -3;\ -2 \right]\) có: \(y\left( -3 \right)=\frac{5}{4};\ \ y\left( -2 \right)=\frac{4}{3}.\)

Vậy \(\underset{x\in \left[ -3;\ -2 \right]}{\mathop{\min }}\,y=\frac{5}{4}\ \ khi\ \ x=-3\)  và \(\underset{x\in \left[ -3;\ -2 \right]}{\mathop{\max }}\,y=\frac{4}{3}\ \ khi\ \ x=-2.\)

d) \(y=\sqrt{5-4x}\) . Tập xác định: \(\left( -\infty ;\ \frac{5}{4} \right].\)

Xét tập \(D=\left[ -1;\ 1 \right]:\)

Có: \(y'=\frac{\left( 5-4x \right)'}{2\sqrt{5-4x}}=\frac{-2}{\sqrt{5-4x}}<0\ \forall x\in \left[ -1;\ 1 \right].\)

Ta có: \(y\left( -1 \right)=3;\ \ y\left( 1 \right)=1.\)

Vậy \(\underset{x\in \left[ -1;\ 1 \right]}{\mathop{\min }}\,y=1\ \ khi\ \ x=1\)  và \(\underset{x\in \left[ -1;\ 1 \right]}{\mathop{\max }}\,y=3\ \ khi\ \ x=-1.\)

 loigiaihay.com

Luyện Bài tập trắc nghiệm môn Toán lớp 12 - Xem ngay

>>Học trực tuyến luyện thi THPTQG, Đại học 2019, mọi lúc, mọi nơi tất cả các môn. Các thầy cô giỏi nổi tiếng, dạy hay dễ hiểu

Các bài liên quan