Lý thuyết phương trình mũ và phương trình lôgarit


1. Phương trình mũ cơ bản và phương trình lôgarit cơ bản

I. PHƯƠNG TRÌNH MŨ

1. Phương trình mũ cơ bản

Phương trình có dạng \({a^x} = b\left( {0 < a \ne 1} \right)\)

+) Với \(b > 0\) ta có \({a^x} = b \Leftrightarrow x = {\log _a}b\).

+) Với \(b \le 0\) phương trình vô nghiệm.

Ví dụ: Giải phương trình \({5^x} = 125\).

Ta có:

\(\begin{array}{l}{5^x} = 125\\ \Leftrightarrow x = {\log _5}125\\ \Leftrightarrow x = 3\end{array}\)

2. Cách giải một số phương trình mũ đơn giản

a) Đưa về cùng cơ số

Ví dụ: Giải phương trình \({\left( {\frac{1}{2}} \right)^{2x - 1}} = {2^{3x}}\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}{\left( {\frac{1}{2}} \right)^{2x - 1}} = {2^{3x}}\\ \Leftrightarrow {2^{ - 2x + 1}} = {2^{3x}}\\ \Leftrightarrow  - 2x + 1 = 3x\\ \Leftrightarrow 1 = 5x\\ \Leftrightarrow x = \frac{1}{5}\end{array}\)

b) Đặt ẩn phụ

Ví dụ: Giải phương trình \({4^x} - {2^{x + 1}} + 1 = 0\).

Ta có:

\(\begin{array}{l}{4^x} - {2^{x + 1}} + 1 = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {{2^x}} \right)^2} - {2.2^x} + 1 = 0\end{array}\)

Đặt \(t = {2^x} > 0\) ta được:

\(\begin{array}{l}{t^2} - 2t + 1 = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {t - 1} \right)^2} = 0\\ \Leftrightarrow t - 1 = 0\\ \Leftrightarrow t = 1\end{array}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow {2^x} = 1\\ \Leftrightarrow x = {\log _2}1\\ \Leftrightarrow x = 0\end{array}\)

c) Logarit hóa

Ví dụ: Giải phương trình \({3^x}{.2^{{x^2}}} = 1\).

Logarit hai vế cơ số \(3\) ta được:

\(\begin{array}{l}{\log _3}\left( {{3^x}{{.2}^{{x^2}}}} \right) = {\log _3}1\\ \Leftrightarrow {\log _3}{3^x} + {\log _3}{2^{{x^2}}} = 0\\ \Leftrightarrow x + {x^2}{\log _3}2 = 0\\ \Leftrightarrow x\left( {1 + x{{\log }_3}2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\1 + x{\log _3}2 = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x =  - \frac{1}{{{{\log }_3}2}} =  - {\log _2}3\end{array} \right.\end{array}\)

II. PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT

1. Phương trình logarit cơ bản

Phương trình có dạng \({\log _a}x = b\) \(\left( {0 < a \ne 1} \right)\)

Ta có: \({\log _a}x = b \Leftrightarrow x = {a^b}\).

Phương trình luôn có nghiệm \(x = {a^b}\).

Ví dụ: Giải phương trình \({\log _5}x =  - 2\).

Ta có: \({\log _5}x =  - 2 \Leftrightarrow x = {5^{ - 2}} \Leftrightarrow x = \frac{1}{{25}}\).

2. Cách giải một số phương trình logarit

a) Đưa về cùng cơ số

Ví dụ: Giải phương trình \({\log _2}x + {\log _4}x = 1\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}{\log _2}x + {\log _4}x = 1\\ \Leftrightarrow {\log _2}x + \frac{1}{2}{\log _2}x = 1\\ \Leftrightarrow \frac{3}{2}{\log _2}x = 1\\ \Leftrightarrow {\log _2}x = \frac{2}{3}\\ \Leftrightarrow x = {2^{\frac{2}{3}}}\\ \Leftrightarrow x = \sqrt[3]{4}\end{array}\)

b) Đặt ẩn phụ

Ví dụ: Giải phương trình \(\frac{1}{{\ln x}} + \frac{1}{{\ln x - 1}} = \frac{5}{6}\).

ĐK: \(\left\{ \begin{array}{l}x > 0\\\ln x \ne 0\\\ln x \ne 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 0\\x \ne 1\\x \ne e\end{array} \right.\)

Đặt \(t = \ln x\left( {t \ne 0,t \ne 1} \right)\) ta được:

\(\begin{array}{l}\frac{1}{t} + \frac{1}{{t - 1}} = \frac{5}{6}\\ \Leftrightarrow \frac{{6t - 6 + 6t}}{{6t\left( {t - 1} \right)}} = \frac{{5t\left( {t - 1} \right)}}{{6t\left( {t - 1} \right)}}\\ \Rightarrow 12t - 6 = 5{t^2} - 5t\\ \Leftrightarrow 5{t^2} - 17t + 6 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 3\\t = \frac{2}{5}\end{array} \right.\left( {TM} \right)\\ \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}\ln x = 3\\\ln x = \frac{2}{5}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = {e^3}\\x = {e^{\frac{2}{5}}}\end{array} \right.\left( {TM} \right)\end{array}\)

Vậy phương trình có tập nghiệm \(S = \left\{ {{e^3};{e^{\frac{2}{5}}}} \right\}\).

c) Mũ hóa

Ví dụ: Giải phương trình \({\log _3}\left( {3 - {3^x}} \right) = 1 + x\)

ĐK: \(3 - {3^x} > 0 \Leftrightarrow {3^x} < 3 \Leftrightarrow x < 1\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}{\log _3}\left( {3 - {3^x}} \right) = 1 + x\\ \Leftrightarrow 3 - {3^x} = {3^{1 + x}}\\ \Leftrightarrow 3 - {3^x} = {3.3^x}\\ \Leftrightarrow 3 = {4.3^x}\\ \Leftrightarrow {3^x} = \frac{3}{4}\\ \Leftrightarrow x = {\log _3}\frac{3}{4}\\ \Leftrightarrow x = 1 - {\log _3}4\left( {TM} \right)\end{array}\)

Loigiaihay.com


Bình chọn:
3.9 trên 14 phiếu

Luyện Bài tập trắc nghiệm môn Toán lớp 12 - Xem ngay

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2022 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.