Lý thuyết bất phương trình mũ và bất phương trình lôgarit

Bình chọn:
3.8 trên 13 phiếu

1. Khái quát

1. Bất phương trình mũ cơ bản

ax > b ( hoặc ax < b; ax ≥ b; ax ≤ b), trong đó a,b là hai số đã cho, a> 0, a\(\ne\)1.

Ta thường giải bất phương trình mũ cơ bản bằng cách lôgarit hóa trên cơ sở sử dụng tính chất đơn điệu của hàm số lôgarit. Lôgarit hóa bất phương trình (mà cả hai vế đều dương) theo cơ số lớn hơn 1( nhỏ hơn 1 và đổi chiều bất phương trình) ta được bất phương trình tương đương (trường hợp một vế âm, một vế dương ta có thể kết luận ngay về tập nghiêm):

- Nếu b > 0 và a > 1 thì

ax > b ⇔ \(log_{a}a^{x}\) > logab ⇔  x > logab;        

ax ≥ b ⇔  x ≥  logab

ax <  b ⇔  x < logab;                                  

ax ≤ b ⇔  x ≤  logab

- Nếu b>0 và 0<a

ax > b ⇔ \(log_{a}a^{x}\) < logab ⇔  x < logab;        

ax ≥ b ⇔  x ≤  logab

ax <  b ⇔  x > logab;                                  

ax ≤ b ⇔  x ≥ logab

- Nếu b ≤ 0 thì các bất phương trình ax > b, ax ≥ b  đều đúng với mọi x (tập nghiện là \(\mathbb R\)) 

- Nếu b ≤ 0 thì các bất phương trình ax < b, ax ≤ b đều vô nghiệm

2. Bất phương trình lôgarit cơ bản dạng logax > b (hoặc logax < b; logax ≥b; logax ≤ b)

trong đó a,b  là hai số đã cho,a>0, a\(\ne\)1

Ta giải bất phương trình loogarit cơ bản bằng cách mũ hóa sử dụng tính chất đơn điệu của hàm số mũ. Mũ hóa bất phương trình theo cơ số lớn hơn 1 (nhỏ hơn 1 và đổi chiều bất phương trình) ta được bất phương trình tương đương.

- Nếu a > 1 thì

logax  > b ⇔ \(a^{log_{a}x}\) > a⇔ x > ab ;           

logax ≥  b ⇔ x ≥ ab

logax  < b ⇔ 0 < x < ab ;

logax ≤  b ⇔ 0 < x ≤ ab

- Nếu 0 < a< 1 thì 

logax  > b ⇔ \(a^{log_{a}x}\) < a⇔ 0 < x < ab ;

logax ≥  b ⇔ 0 < x ≤ ab

logax  < b ⇔  x > ab ;

logax ≤  b ⇔ x ≥  ab

3. Chú ý: Các bất phương trình mũ, lôgarit cơ bản nêu trên trong trường hợp b =aα( đối với bất phương trình mũ cơ bản) và b =logaα ( trường hợp bất phương trình lôgarit  cơ bản) thì có thể sử dụng tính chất đơn điệu của hàm số mũ và hàm số lôgarit để giải, không cần lôgarit hóa hay mũ hóa. Chẳng hạn:  

Nếu a > 1 thì a> aα ⇔ x > α;

Nếu 0 < a < 1 thì logax > logaα ⇔  0 < x < α;...

Loigiaihay.com

Luyện Bài tập trắc nghiệm môn Toán lớp 12 - Xem ngay

>>Học trực tuyến luyện thi THPTQG, Đại học 2020, mọi lúc, mọi nơi tất cả các môn cùng các thầy cô giỏi nổi tiếng, dạy hay dễ hiểu trên Tuyensinh247.com. Đã có đầy đủ các khóa học từ nền tảng tới nâng cao.

Gửi văn hay nhận ngay phần thưởng