Lý thuyết bất phương trình mũ và bất phương trình lôgarit

1. Bất phương trình mũ cơ bản

\(a^x> b\) (hoặc \({a^x} < b\); \({a^x} \le b\); \({\kern 1pt} {a^x} \ge b)\), trong đó \(a\), \(b\) là hai số đã cho, \(a> 0\), \(a\ne 1\).

Ta thường giải bất phương trình mũ cơ bản bằng cách lôgarit hóa trên cơ sở sử dụng tính chất đơn điệu của hàm số lôgarit. Lôgarit hóa bất phương trình (mà cả hai vế đều dương) theo cơ số lớn hơn 1 (nhỏ hơn 1 và đổi chiều bất phương trình) ta được bất phương trình tương đương (trường hợp một vế âm, một vế dương ta có thể kết luận ngay về tập nghiêm):

- Nếu \(b > 0\) và \(a > 1\) thì

\({a^x} > b \Leftrightarrow x > {\log _a}b\);

\({a^x} \ge b \Leftrightarrow x \ge {\log _a}b\);

\({a^x} < b \Leftrightarrow x < {\log _a}b\);

\({a^x} \le b \Leftrightarrow x \le {\log _a}b\).

- Nếu \(b>0\)  và \(0 < a <1\) thì

\({a^x} > b  \Leftrightarrow x < {\log _a}b\);

\({a^x} \ge b \Leftrightarrow x \le {\log _a}b\);

\({a^x} < b \Leftrightarrow x > {\log _a}b\);

\({a^x} \le b \Leftrightarrow x \ge {\log _a}b\).

- Nếu \(b ≤ 0\) thì các bất phương trình \({a^x} > b\), \({a^x} \ge  b\)  đều đúng với mọi \(x\) (tập nghiệm là \(\mathbb R)\).

- Nếu \(b ≤ 0\) thì các bất phương trình \({a^x} < b\), \({a^x} \le b\) đều vô nghiệm.

2. Bất phương trình lôgarit cơ bản

\({\log _a}x > b\) (hoặc \({\log _a}x < b\); \({\log _a}x \ge b\); \({\log _a}x \le b\)), trong đó \(a\) \(,b\) là hai số đã cho, \(a>0\), \(a \ne 1\).

Ta giải bất phương trình logarit cơ bản bằng cách mũ hóa sử dụng tính chất đơn điệu của hàm số mũ. Mũ hóa bất phương trình theo cơ số lớn hơn 1 (nhỏ hơn 1 và đổi chiều bất phương trình) ta được bất phương trình tương đương.

- Nếu \(a > 1\) thì

\(\log_{a}x > b \Leftrightarrow x > a^b\);

\(\log_{a}x \ge  b \Leftrightarrow x \ge a^b\);

\(\log_{a}x <  b \Leftrightarrow 0 < x < a^b\);

\(\log_{a}x \le  b \Leftrightarrow 0 < x \le a^b\).

- Nếu \(0 < a < 1\) thì 

\(\log_{a}x > b \Leftrightarrow 0 < x < a^b\);

\(\log_{a}x \ge  b \Leftrightarrow 0 < x \le a^b\);

\(\log_{a}x < b \Leftrightarrow x >  a^b\);

\( \log_{a}x \le b \Leftrightarrow x \ge  a^b\).

3. Chú ý: Các bất phương trình mũ, lôgarit cơ bản nêu trên trong trường hợp \(b =a^\alpha\) ( đối với bất phương trình mũ cơ bản) và \(b =\log_{a}\alpha\) (trường hợp bất phương trình lôgarit cơ bản) thì có thể sử dụng tính chất đơn điệu của hàm số mũ và hàm số lôgarit để giải, không cần lôgarit hóa hay mũ hóa. Chẳng hạn:  

Nếu \(a > 1\) thì \({a^x} > {a^\alpha} \Leftrightarrow x > \alpha;\)

Nếu \(0 < a < 1\) thì \({\log _a}x > {\log _a}\alpha  \Leftrightarrow 0 < x < \alpha ;...\)

4. Ví dụ minh họa

Giải các bất phương trình sau:

a) \({3^x} \ge 9\).

Ta có \({3^x} \ge 9 \Leftrightarrow x \ge {\log _3}9 \Leftrightarrow x \ge 2\).

b) \({\left( {\frac{1}{2}} \right)^x} \le 4\).

Ta có: \({\left( {\frac{1}{2}} \right)^x} \le 4 \Leftrightarrow x \le {\log _{\frac{1}{2}}}4\).

c) \({2^{2x - 1}} - {2^{ - 2}} > 0\).

Ta có \({2^{2x - 1}} - {2^{ - 2}} > 0 \Leftrightarrow {2^{2x - 1}} > {2^{ - 2}}\)

\(\Leftrightarrow 2x - 1 >  - 2 \Leftrightarrow x >  - \frac{1}{2}\).

d) \({2^{x + 1}} > {8^{x - 1}}\).

Ta có \({2^{x + 1}} > {8^{x - 1}} \)

\(\Leftrightarrow x + 1 > (x - 1){\log _2}8\)

\(\Leftrightarrow x + 1 > 3(x - 1) \)

\(\Leftrightarrow  - 2x >  - 4 \Leftrightarrow x < 2\).

e) \({\log _{{e^2}}}x > 5\).

Ta có: \({\log _{{e^2}}}x > 5 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x > 0}\\{x > {{\left( {{e^2}} \right)}^5}}\end{array}} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x > 0}\\{x > {e^{10}}}\end{array}} \right. \Leftrightarrow x > {e^{10}}\).

f) \({\log _4}(x - 20) < 2\).

Ta có \({\log _4}(x - 20) < 2 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x > 20}\\{x - 20 < {4^2}}\end{array}} \right. \)

f) \({\log _9}(x + 7) > {\log _3}(x + 1)\).

Điều kiện: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + 7 > 0}\\{x + 1 > 0}\end{array}} \right. \)

\(\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x >  - 7}\\{x >  - 1}\end{array}} \right. \Leftrightarrow x >  - 1.\)

Ta có \({\log _9}(x + 7) > {\log _3}(x + 1) \)

\(\Leftrightarrow \frac{1}{2}{\log _3}(x + 7) > {\log _3}(x + 1)\)

\( \Leftrightarrow {\log _3}(x + 7) > {\log _3}{(x + 1)^2}\)

\(\Leftrightarrow {x^2} + x - 6 < 0 \)

\(\Leftrightarrow  - 3 < x < 2\).

Kết hợp điều kiện ta được nghiệm của bất phương trình là: \( - 1 < x < 2\).

g) \({\log _2}\left( {{{2.2}^x} + 1} \right) > 2x\).

Điều kiện: \({2.2^x} + 1 > 0\) \(\forall x \in \mathbb{R}\).

\({\log _2}\left( {{{2.2}^x} + 1} \right) > 2x\)

\(\Leftrightarrow {2.2^x} + 1 > {2^{2x}} \)

\(\Leftrightarrow  - {2^{2x}} + 2 \cdot {2^x} + 1 > 0\)

\(\Leftrightarrow 1 - \sqrt 2  < {2^x} < 1 + \sqrt 2  \)

\(\Leftrightarrow 0 < {2^x} < 1 + \sqrt 2 \)

\(\Leftrightarrow x < {\log _2}\left( {1 + \sqrt 2 } \right)\).

Kết hợp với điều kiện, ta được tập nghiệm \(S = \left( { - \infty ;{{\log }_2}\left( {1 + \sqrt 2 } \right)} \right)\).

h) \(\log _3^2x - 4{\log _3}x + 3 > 0\).

Điều kiện: \(x > 0\).

\(\log _3^2x - 4{\log _3}x + 3 > 0 \)

\(\Leftrightarrow {t^2} - 4t + 3 > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t < 1\\t > 3\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{\log _3}x < 1\\{\log _3}x > 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x < 3\\x > 27\end{array} \right.\).

Kết hợp với điều kiện, ta được tập nghiệm \(S = (0;3) \cup (27; + \infty )\).

Loigiaihay.com

Giải các phương trình sau:

a) \({2^{2x - 1}} - \frac{1}{8} = 0\); b) \({2^{{{(x - 1)}^2}}} = {4^x}\); c) \({25^x} = {5^x}\);

d) \({\left( {\frac{1}{{25}}} \right)^{x + 1}} = {125^x}\); e) \({\left( {\frac{1}{4}} \right)^{2x - 1}} = {\left( {2\sqrt 2 } \right)^{x + 2}}\); f) \({4^{{x^2} - 2x}} = 1\).

Giải:

a) \({2^{2x - 1}} - \frac{1}{8} = 0 \Leftrightarrow {2^{2x - 1}} = {2^{ - 3}} \Leftrightarrow x =  - 1\).

b) \({2^{{{(x - 1)}^2}}} = {4^x} \Leftrightarrow {2^{{{(x - 1)}^2}}} = {2^{2x}} \Leftrightarrow {(x - 1)^2} = 2x\)

\( \Leftrightarrow {x^2} - 4x + 1 = 0 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2 + \sqrt 3 }\\{x = 2 - \sqrt 3 }\end{array}} \right.\).

c) \({25^x} = {5^{{x^2}}} \Leftrightarrow {({5^2})^x} = {5^{{x^2}}} \Leftrightarrow 2x = {x^2} \Leftrightarrow {x^2} - 2x = 0 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 0}\\{x = 2}\end{array}} \right.\).

d) \({\left( {\frac{1}{{25}}} \right)^{x + 1}} = {125^x} \Leftrightarrow {5^{ - 2(x + 1)}} = {5^{3x}} \Leftrightarrow  - 2(x + 1) = 3x \Leftrightarrow x =  - \frac{2}{5}\).

e) \({\left( {\frac{1}{4}} \right)^{2x - 1}} = {\left( {2\sqrt 2 } \right)^{x + 2}} \Leftrightarrow {\left( {{2^{ - 2}}} \right)^{2x - 1}} = {\left( {2 \cdot {2^{\frac{1}{2}}}} \right)^{x + 2}}\).

\( \Leftrightarrow {2^{ - 4x + 2}} = {2^{\frac{{3(x + 2)}}{2}}} \Leftrightarrow  - 4x + 2 = \frac{{3(x + 2)}}{2}\).