Toán 12 - Giải toán 12, giải bài tập toán lớp 12 đại số, hình học

Bài 6. Bất phương trình mũ và bất phương trình lôgarit

Các dạng toán về bất phương trình mũ

Dạng 1: Giải bất phương trình mũ.

Phương pháp:

- Bước 1: Đặt điều kiện cho ẩn để các biểu thức có nghĩa.

- Bước 2: Sử dụng các phép biến đổi: đưa về cùng cơ số, đặt ẩn phụ, đưa về dạng tích, logarit hóa, dùng hàm số,…để giải bất phương trình.

- Bước 3: Kiểm tra điều kiện và kết luận tập nghiệm.

Khi giải bất phương trình mũ cần chú ý đến điều kiện của cơ số \(a\).

Ví dụ 1: Tập nghiệm của bất phương trình \({3^x} \ge {3^{2x - 1}}\) là:

A. \(\left( { - \infty ;1} \right]\)

B. \(\left( { - \infty ;1} \right)\)

C. \(\left( {1; + \infty } \right)\)

D. \(\left[ {1; + \infty } \right)\)

Phương pháp:

Sử dụng phương pháp giải bất phương trình mũ với cơ số \(a > 1\): \({a^{f\left( x \right)}} \ge {a^{g\left( x \right)}} \Leftrightarrow f\left( x \right) \ge g\left( x \right)\) .

Cách giải:

\({3^x} \ge {3^{2x - 1}} \Leftrightarrow x \ge 2x - 1 \Leftrightarrow - x \ge - 1 \Leftrightarrow x \le 1\)

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \(\left( { - \infty ;1} \right]\).

Chọn A.

Ví dụ 2: Tập nghiệm của bất phương trình: \({\left( {\dfrac{1}{4}} \right)^x} + {\left( {\dfrac{1}{2}} \right)^x} - 2 \le 0\) là:

A. \(\left( { - \infty ;1} \right]\)

B. \(\left( { - 1; + \infty } \right)\)

C. \(\left[ {0; + \infty } \right)\)

D. \(\left( { - \infty ;0} \right]\)

Phương pháp:

Đưa về cùng cơ số và biến đổi thành dạng tích rồi giải bất phương trình.

Cách giải:

\(\begin{array}{l}{\left( {\dfrac{1}{4}} \right)^x} + {\left( {\dfrac{1}{2}} \right)^x} - 2 \le 0 \Leftrightarrow {\left( {\dfrac{1}{2}} \right)^{2x}} + {\left( {\dfrac{1}{2}} \right)^x} - 2 \le 0 \Leftrightarrow \left[ {{{\left( {\dfrac{1}{2}} \right)}^x} - 1} \right]\left[ {{{\left( {\dfrac{1}{2}} \right)}^x} + 2} \right] \le 0\\ \Leftrightarrow {\left( {\dfrac{1}{2}} \right)^x} - 1 \le 0 \Leftrightarrow {\left( {\dfrac{1}{2}} \right)^x} \le 1 \Leftrightarrow {\left( {\dfrac{1}{2}} \right)^x} \le {\left( {\dfrac{1}{2}} \right)^0} \Leftrightarrow x \ge 0\end{array}\)

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \(\left[ {0; + \infty } \right)\).

Chọn C.

Dạng 2: Tìm điều kiện của tham số để bất phương trình có nghiệm.

Phương pháp:

- Bước 1: Đặt điều kiện cho ẩn để các biểu thức có nghĩa.

- Bước 2: Biến đổi bất phương trình đã cho, nêu điều kiện để bất phương trình có nghiệm hoặc biện luận theo \(m\) nghiệm của bất phương trình.

- Bước 3: Giải điều kiện ở trên để tìm và kết luận điều kiện tham số.

Ví dụ: Tìm \(m\) để bất phương trình \(m{.4^x} - 2 < 0\) nghiệm đúng với mọi \(x\).

A. \(m \in R\)

B. \(m = 0\)

C. \(m > 0\)

D. \(m \le 0\)

Phương pháp:

- Biến đổi bất phương trình đã cho về \(m{.4^x} < 2\).

- Biện luận bất phương trình theo \(m\) nghiệm của bất phương trình.

Cách giải:

Ta có: \(m{.4^x} - 2 < 0 \Leftrightarrow m{.4^x} < 2\).

+ Nếu \(m \le 0\) thì \(m{.4^x} \le 0 < 2\) đúng với mọi \(x\).

+ Nếu \(m > 0\) thì \(m{.4^x} < 2 \Leftrightarrow {4^x} < \dfrac{2}{m} \Leftrightarrow x < {\log _4}\dfrac{2}{m}\), do đó bất phương trình không nghiệm đúng với mọi \(x\).

Vậy \(m \le 0\).

Chọn D.