Bài 40 trang 115 Vở bài tập toán 9 tập 2


Đề bài

Trên đường tròn bán kính \(R\) lần lượt đặt theo cùng một chiều, kể từ điểm \(A\), ba cung \(AB, BC, CD\) sao cho sđ\(\overparen{AB}= {60^o}\), sđ\(\overparen{BC}= {90^o}\), sđ\(\overparen{CD}= {120^o}\).

a) Tứ giác \(ABCD\) là hình gì ?

d) Chứng minh rằng hai đường chéo của tứ giác \(ABCD\) vuông góc với nhau.

c) Tính độ dài các cạnh của tứ giác \(ABCD\) theo \(R\).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Sử dụng số đo cả đường tròn bằng \(360^\circ \) để tính số đo cung \(AD\).

Sử dụng dấu hiệu nhận biết tứ giác có hai cạnh đáy song song và hai cạnh bên (hoặc hai góc ở đáy) bằng nhau.

b) Sử dụng: Số đo góc có đỉnh bên trong đường tròn bẳng nửa tổng số đo hai cung bị chắn

c) Sử dụng định lý Pytago và tính chất tam giác đều.

Lời giải chi tiết

a) Xét cung \(DA\) , ta có : 

sđ\(\overparen{DA}=\) \(360^\circ  - \) (sđ \(\overparen{AB}+\) sđ\(\overparen{BC}+\) sđ\(\overparen{CD}\)) \( = 360^\circ  - 270^\circ  = 90^\circ .\)

Vậy sđ\(\overparen{DA}= 90^\circ \) ta có : sđ\(\overparen{BC}\) = sđ\(\overparen{DA}\)

 \( \Rightarrow \widehat {ACD} = \widehat {BAC} = \dfrac{1}{2}\) sđ\(\overparen{AD}\). Do đó, ta có \(AB//DC\) và \(\overparen{BC}= \overparen{AD}\) \( \Rightarrow BC = DA.\)

Vậy tứ giác\(ABCD\) là hình thang cân.

b) Gọi \(E\) là giao điểm của hai đường chéo \(AC\) và \(BD\). Góc  \(AEB\) có đỉnh  nằm bên trong đường tròn nên ta có:

\(\widehat {AEB} = \dfrac{1}{2}\) (sđ \(\overparen{AB}\) + sđ \(\overparen{CD}\)). Từ giả thiết ta có sđ\(\overparen{CD}\)\( = 120^\circ ;\) sđ\(\overparen{AB}\) \( = 60^\circ \)

Vậy  \(\widehat {AEB} = 90^\circ  \Rightarrow AC \bot BD.\)

c) Ta có \(\widehat {AOB} = \) sđ\(\overparen{AB}\) \( = 60^\circ \) là góc ở tâm và  \(OA = OB = AB\)

\( \Rightarrow \Delta {\rm A}OB\) là tam giác đều.

Vậy  \(AB = R.\)

Ta có \(\widehat {AOD} = \) sđ \(\overparen{AD}\) \( = 90^\circ \)và \(OA = OD = R \Rightarrow \Delta AOD\) là tam giác vuông cân.

\(A{D^2} = O{A^2} + O{D^2} = 2{R^2}.\) Vậy \(AD = R\sqrt 2 \) và \(BC = AD = R\sqrt 2 ,\) vì \(ABCD\) là hình thang cân.

Kẻ \(OH \bot CD\) tại \(H\) 

Vì sđ\(\overparen{CD}\) \( = 120^\circ \) \(\Rightarrow \widehat{COD}=120^0.\)

Lại có \(\Delta DOC\) cân tại \(O\) có \(OH\) là đường cao nên \(OH\) cũng là đường phân giác

\( \Rightarrow \widehat{HOC}=\widehat{DOC}:2=120^0:2=60^0.\)

Xét \(\Delta OCH\) vuông tại \(H\) ta có:

\(HC=OC.\sin \widehat{COH}=\dfrac{R\sqrt{3}}{2}.\)

Mà \(H\) là trung điểm của \(CD\) (định lý đường kính vuông góc với dây cung thì đi qua trung điểm của dây ấy).

\(\Rightarrow CD=2.CH=R\sqrt3.\)

Vậy \(AB = R;DC = R\sqrt3;BC = AD = R\sqrt 2 \) 

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.1 trên 7 phiếu
  • Bài 39 trang 114 Vở bài tập toán 9 tập 2

    Giải bài 39 trang 114 VBT toán 9 tập 2. a) Vẽ tam giác đều ABC cạnh a = 3cm b) Vẽ tiếp đường tròn (O ; R) ngoại tiếp tam giác đều ABC. Tính R c) Vẽ tiếp đường tròn (O ; r) nội tiếp tam giác đều ABC. Tính r ...

  • Bài 38 trang 113 Vở bài tập toán 9 tập 2

    Giải bài 38 trang 113 VBT toán 9 tập 2.a)Vẽ đường tròn tâm O, bán kính 2 cm.b) Vẽ hình vuông nội tiếp đường tròn (O) ở câu a).c) Tính bán kính r của đường tròn nội tiếp hình vuông ở câu b) rồi vẽ đường tròn (O ; r)....

  • Phần câu hỏi bài 8 trang 113 Vở bài tập toán 9 tập 2

    Giải phần câu hỏi bài 8 trang 113 VBT toán 9 tập 2. Cho một đường tròn bán kính r nội tiếp trong tam giác vuông cân và một đường tròn bán kính R ngoại tiếp tam giác ấy. Khi đó tỉ số R : r bằng...

Luyện Bài tập trắc nghiệm môn Toán lớp 9 - Xem ngay

>> Học trực tuyến lớp 9 và luyện vào lớp 10 tại Tuyensinh247.com. , cam kết giúp học sinh lớp 9 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.