Bài 3.41 trang 180 SBT giải tích 12


Giải bài 3.41 trang 180 sách bài tập giải tích 12. Quay hình phẳng Q giới hạn bởi các đường y_1 = sin x và ...

Đề bài

Quay hình phẳng \(\displaystyle  Q\) giới hạn bởi các đường \(\displaystyle  {y_1} = \sin x\) và \(\displaystyle  {y_2} = \frac{{2x}}{\pi }\) quanh trục \(\displaystyle  Ox\), ta được một khối tròn xoay. Khi đó thể tích của khối tròn xoay này bằng

A. \(\displaystyle  \frac{1}{6}\)                    B. \(\displaystyle  \frac{\pi }{6}\)

C. \(\displaystyle  8\)                      D. \(\displaystyle  \frac{{{\pi ^2}}}{6}\)

Phương pháp giải - Xem chi tiết

- Giải phương trình hoành độ tìm nghiệm.

- Tính thể tích theo công thức \(\displaystyle  V = \pi \int\limits_a^b {\left| {{f^2}\left( x \right) - {g^2}\left( x \right)} \right|dx} \).

Lời giải chi tiết

Ta có: \(\displaystyle  \sin x = \frac{{2x}}{\pi } \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = \frac{\pi }{2}\\x =  - \frac{\pi }{2}\end{array} \right.\)

Khi đó \(\displaystyle  V = \pi \int\limits_{ - \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}} {\left| {{{\sin }^2}x - {{\left( {\frac{{2x}}{\pi }} \right)}^2}} \right|dx} \)

Dễ thấy \(\displaystyle  f\left( x \right) = \left| {{{\sin }^2}x - {{\left( {\frac{{2x}}{\pi }} \right)}^2}} \right|\) là hàm số chẵn nên:

\(\displaystyle  V = 2\pi \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left| {{{\sin }^2}x - {{\left( {\frac{{2x}}{\pi }} \right)}^2}} \right|dx} \)\(\displaystyle   = 2\pi \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left( {{{\sin }^2}x - {{\left( {\frac{{2x}}{\pi }} \right)}^2}} \right)dx} \) \(\displaystyle   = 2\pi \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {{{\sin }^2}xdx}  - \frac{8}{\pi }\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {{x^2}dx} \)

\(\displaystyle   = \pi \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left( {1 - \cos 2x} \right)dx}  - \frac{8}{\pi }\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {{x^2}dx} \) \(\displaystyle   = \pi \left. {\left( {x - \frac{{\sin 2x}}{2}} \right)} \right|_0^{\frac{\pi }{2}} - \frac{8}{\pi }.\left. {\frac{{{x^3}}}{3}} \right|_0^{\frac{\pi }{2}}\) \(\displaystyle   = \pi \left( {\frac{\pi }{2} - 0} \right) - \frac{8}{\pi }.\frac{1}{3}.{\left( {\frac{\pi }{2}} \right)^3}\)

\(\displaystyle   = \frac{{{\pi ^2}}}{2} - \frac{{{\pi ^2}}}{3} = \frac{{{\pi ^2}}}{6}\)

Chọn D.

Loigiaihay.com

Sub đăng ký kênh giúp Ad nhé !


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu

>> Luyện thi tốt nghiệp THPT và Đại học năm 2021, mọi lúc, mọi nơi tất cả các môn cùng các thầy cô giỏi nổi tiếng, dạy hay dễ hiểu trên Tuyensinh247.com. Đã có đầy đủ các khóa học từ nền tảng tới luyện thi chuyên sâu.


Gửi bài