Bài 3.35 trang 178 SBT giải tích 12


Giải bài 3.35 trang 178 sách bài tập giải tích 12. Một hình phẳng được giới hạn bởi. Ta chia đoạn [0; 1] thành n phần bằng nhau tạo thành một hình bậc thang (bởi n hình chữ nhật con như Hình bên)....

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Một hình phẳng được giới hạn bởi \(\displaystyle  y = {e^{ - x}},y = 0,x = 0,x = 1\). Ta chia đoạn \(\displaystyle  \left[ {0;1} \right]\) thành \(\displaystyle  n\) phần bằng nhau tạo thành một hình bậc thang (bởi \(\displaystyle  n\) hình chữ nhật con như dưới).

LG a

Tính diện tích \(\displaystyle  {S_n}\) của hình bậc thang (tổng diện tích của \(\displaystyle  n\) hình chữ nhật con).

Phương pháp giải:

Tính diện tích từng hình chữ nhật rồi tính tổng.

Giải chi tiết:

Ta có: \(\displaystyle  {S_1} = \frac{1}{n}.{e^{ - \frac{1}{n}}}\); \(\displaystyle  {S_2} = \frac{1}{n}.{e^{ - \frac{2}{n}}}\); …;\(\displaystyle  {S_n} = \frac{1}{n}.{e^{ - \frac{n}{n}}}\)

\(\displaystyle   \Rightarrow {S_n} = \frac{1}{n}\left( {{e^{ - \frac{1}{n}}} + {e^{ - \frac{2}{n}}} + ... + {e^{ - \frac{n}{n}}}} \right)\)\(\displaystyle   = \frac{1}{n}.{e^{ - \frac{1}{n}}}\frac{{1 - {{\left( {{e^{ - \frac{1}{n}}}} \right)}^n}}}{{1 - {e^{ - \frac{1}{n}}}}} = \frac{1}{n}.\frac{{1 - {e^{ - 1}}}}{{{e^{\frac{1}{n}}} - 1}}\)

LG b

Tìm \(\displaystyle  \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {S_n}\) và so sánh với cách tính diện tích hình phẳng này bằng công thức tích phân.

Phương pháp giải:

Tính giới hạn \(\displaystyle  \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {S_n}\) và tính diện tích bằng công thức tích phân \(\displaystyle  S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} \) rồi so sánh.

Giải chi tiết:

\(\displaystyle  \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {S_n} = 1 - {e^{ - 1}}\)

Mặt khác \(\displaystyle  S = \int\limits_0^1 {{e^{ - x}}dx}  =  - \left. {{e^{ - x}}} \right|_0^1 = 1 - {e^{ - 1}}\).

Do đó \(\displaystyle  \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {S_n} = 1 - {e^{ - 1}} = \int\limits_0^1 {{e^{ - x}}dx}  = S\)

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu

>> Luyện thi tốt nghiệp THPT và Đại học năm 2021, mọi lúc, mọi nơi tất cả các môn cùng các thầy cô giỏi nổi tiếng, dạy hay dễ hiểu trên Tuyensinh247.com. Đã có đầy đủ các khóa học từ nền tảng tới luyện thi chuyên sâu.


Gửi bài