Bài 3.31 trang 178 SBT giải tích 12


Giải bài 3.31 trang 178 sách bài tập giải tích 12. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:...

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:

LG câu a

\(\displaystyle  y = 2x - {x^2},x + y = 2\)

Phương pháp giải:

- Giải phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số.

- Sử dụng công thức tính diện tích \(\displaystyle  S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|dx} \)

Giải chi tiết:

Ta có: \(\displaystyle  y = 2x - {x^2},y = 2 - x\)

Phương trình hoành độ giao điểm: \(\displaystyle  2x - {x^2} = 2 - x\) \(\displaystyle   \Leftrightarrow {x^2} - 3x + 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 2\end{array} \right.\)

Khi đó diện tích \(\displaystyle  S = \int\limits_1^2 {\left| {2x - {x^2} - 2 + x} \right|dx} \) \(\displaystyle   = \int\limits_1^2 {\left| { - {x^2} + 3x - 2} \right|dx} \) \(\displaystyle   = \int\limits_1^2 {\left( { - {x^2} + 3x - 2} \right)dx} \)

\(\displaystyle   = \left. {\left( { - \dfrac{{{x^3}}}{3} + \dfrac{3}{2}{x^2} - 2x} \right)} \right|_1^2\) \(\displaystyle   =  - \dfrac{8}{3} + 6 - 4 + \dfrac{1}{3} - \dfrac{3}{2} + 2 = \dfrac{1}{6}\)

Vậy \(\displaystyle  S = \dfrac{1}{6}\).

LG câu b

\(\displaystyle  y = {x^3} - 12x,y = {x^2}\)

Phương pháp giải:

- Giải phương trình hoành độ giao điểm tìm nghiệm \(\displaystyle  {x_1} < {x_2} < ... < {x_n}\).

- Tính diện tích theo công thức:

\(\displaystyle  S = \int\limits_{{x_1}}^{{x_n}} {\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|dx} \) \(\displaystyle   = \int\limits_{{x_1}}^{{x_2}} {\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|dx} \) \(\displaystyle   + \int\limits_{{x_2}}^{{x_3}} {\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|dx}  + ...\) \(\displaystyle   + \int\limits_{{x_{n - 1}}}^{{x_n}} {\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|dx} \)

\(\displaystyle   = \left| {\int\limits_{{x_1}}^{{x_2}} {\left[ {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right]dx} } \right|\) \(\displaystyle   + \left| {\int\limits_{{x_2}}^{{x_3}} {\left[ {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right]dx} } \right|\) \(\displaystyle  ... + \left| {\int\limits_{{x_{n - 1}}}^{{x_n}} {\left[ {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right]dx} } \right|\).

Giải chi tiết:

Phương trình hoành độ giao điểm:

\(\displaystyle  {x^3} - 12x = {x^2}\)\(\displaystyle   \Leftrightarrow {x^3} - {x^2} - 12x = 0\) \(\displaystyle   \Leftrightarrow x\left( {{x^2} - x - 12} \right) = 0\) \(\displaystyle   \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\{x^2} - x - 12 = 0\end{array} \right.\) \(\displaystyle   \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x =  - 3\\x = 4\end{array} \right.\)

Diện tích là:

\(\displaystyle  S = \int\limits_{ - 3}^4 {\left| {{x^3} - 12x - {x^2}} \right|dx} \) \(\displaystyle   = \int\limits_{ - 3}^0 {\left| {{x^3} - 12x - {x^2}} \right|dx} \) \(\displaystyle   + \int\limits_0^4 {\left| {{x^3} - 12x - {x^2}} \right|dx} \)

\(\displaystyle   = \left| {\int\limits_{ - 3}^0 {\left( {{x^3} - {x^2} - 12x} \right)dx} } \right|\) \(\displaystyle   + \left| {\int\limits_0^4 {\left( {{x^3} - {x^2} - 12x} \right)dx} } \right|\) \(\displaystyle   = \frac{{99}}{4} + \frac{{160}}{3} = \frac{{937}}{{12}}\).

Vậy \(\displaystyle  S = \frac{{937}}{{12}}\).

LG câu c

\(\displaystyle  x + y = 1;x + y =  - 1;\) \(\displaystyle  x - y = 1;x - y =  - 1\)

 

Phương pháp giải:

Dựng hình và suy ra diện tích.

Giải chi tiết:

Vẽ các đường thẳng \(\displaystyle  x + y = 1;x + y =  - 1;\) \(\displaystyle  x - y = 1;x - y =  - 1\) trên hệ tục tọa độ ta được phần cần tính diện tích là hình vuông có các đỉnh \(\displaystyle  \left( { - 1;0} \right),\left( {0; - 1} \right),\left( {1;0} \right),\left( {0;1} \right)\).

Diện tích hình vuông là: \(\displaystyle  S = 4.\frac{1}{2}.1.1 = 2\).

Chú ý:

Sử dụng công thức tích phân ta được \(\displaystyle  S = 4\int\limits_0^1 {\left( {1 - x} \right)dx} \)\(\displaystyle   = 4\left. {\left( {x - \frac{{{x^2}}}{2}} \right)} \right|_0^1 = 4\left( {1 - \frac{1}{2}} \right) = 2\).


LG câu d

 \(\displaystyle  y = \frac{1}{{1 + {x^2}}},y = \frac{1}{2}\)

Phương pháp giải:

- Giải phương trình hoành độ giao điểm tìm nghiệm \(\displaystyle  {x_1} < {x_2} < ... < {x_n}\).

- Tính diện tích hình phẳng theo công thức \(\displaystyle  S = \int\limits_{{x_1}}^{{x_n}} {\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|dx} \)

Giải chi tiết:

Ta có: \(\displaystyle  \frac{1}{{1 + {x^2}}} = \frac{1}{2}\)\(\displaystyle   \Leftrightarrow 1 + {x^2} = 2\) \(\displaystyle   \Leftrightarrow {x^2} = 1 \Leftrightarrow x =  \pm 1\).

Diện tích: \(\displaystyle  S = \int\limits_{ - 1}^1 {\left| {\frac{1}{{1 + {x^2}}} - \frac{1}{2}} \right|dx} \)\(\displaystyle   = \int\limits_{ - 1}^1 {\left( {\frac{1}{{1 + {x^2}}} - \frac{1}{2}} \right)dx} \)

Dễ thấy hàm số \(\displaystyle  y = \frac{1}{{{x^2} + 1}} - \frac{1}{2}\) là hàm số chẵn nên \(\displaystyle  S = \int\limits_{ - 1}^1 {\left( {\frac{1}{{1 + {x^2}}} - \frac{1}{2}} \right)dx} \) \(\displaystyle   = 2\int\limits_0^1 {\left( {\frac{1}{{1 + {x^2}}} - \frac{1}{2}} \right)dx} \)

Xét \(\displaystyle  I = \int\limits_0^1 {\left( {\frac{1}{{1 + {x^2}}} - \frac{1}{2}} \right)dx} \)\(\displaystyle   = \int\limits_0^1 {\frac{{dx}}{{1 + {x^2}}}}  - \frac{1}{2}\int\limits_0^1 {dx} \) \(\displaystyle   = J - \frac{1}{2}\) với \(\displaystyle  J = \int\limits_0^1 {\frac{1}{{1 + {x^2}}}dx} \)

Đặt \(\displaystyle  x = \tan t \Rightarrow dx = \left( {1 + {{\tan }^2}t} \right)dt\) \(\displaystyle   \Rightarrow J = \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\frac{{1 + {{\tan }^2}t}}{{1 + {{\tan }^2}t}}dt}  = \frac{\pi }{4}\)\(\displaystyle   \Rightarrow I = \frac{\pi }{4} - \frac{1}{2}\)

Vậy \(\displaystyle  S = 2I = 2.\left( {\frac{\pi }{4} - \frac{1}{2}} \right) = \frac{\pi }{2} - 1\).

LG câu e

\(\displaystyle  y = {x^3} - 1\) và tiếp tuyến với \(\displaystyle  y = {x^3} - 1\) tại điểm \(\displaystyle  \left( { - 1; - 2} \right)\).

Phương pháp giải:

- Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm \(\displaystyle  \left( { - 1; - 2} \right)\).

- Tìm nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm giữa tiếp tuyến với đồ thị hàm số.

- Tính diện tích theo công thức \(\displaystyle  S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|dx} \)

Giải chi tiết:

Xét \(\displaystyle  y = g\left( x \right) = {x^3} - 1\) có \(\displaystyle  g'\left( x \right) = 3{x^2}\)\(\displaystyle   \Rightarrow g'\left( { - 1} \right) = 3\).

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(\displaystyle  y = g\left( x \right)\) tại điểm \(\displaystyle  \left( { - 1; - 2} \right)\) là:

\(\displaystyle  y = 3\left( {x + 1} \right) - 2\) hay \(\displaystyle  y = 3x + 1\).

Xét phương trình \(\displaystyle  {x^3} - 1 = 3x + 1 \Leftrightarrow {x^3} - 3x - 2 = 0\) \(\displaystyle   \Leftrightarrow \left( {x - 2} \right){\left( {x + 1} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - 1\\x = 2\end{array} \right.\)

Diện tích: \(\displaystyle  S = \int\limits_{ - 1}^2 {\left| {{x^3} - 3x - 2} \right|dx} \) \(\displaystyle   = \int\limits_{ - 1}^2 {\left( { - {x^3} + 3x + 2} \right)dx} \) \(\displaystyle   = \left. {\left( { - \dfrac{{{x^4}}}{4} + \dfrac{3}{2}{x^2} + 2x} \right)} \right|_{ - 1}^2\) \(\displaystyle   =  - 4 + 6 + 4 + \dfrac{1}{4} - \dfrac{3}{2} + 2 = \dfrac{{27}}{4}\).

Vậy \(\displaystyle  S = \dfrac{{27}}{4}\).

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu

>> Luyện thi tốt nghiệp THPT và Đại học năm 2021, mọi lúc, mọi nơi tất cả các môn cùng các thầy cô giỏi nổi tiếng, dạy hay dễ hiểu trên Tuyensinh247.com. Đã có đầy đủ các khóa học từ nền tảng tới luyện thi chuyên sâu.


Gửi bài