Bài 3.36 trang 179 SBT giải tích 12


Giải bài 3.36 trang 179 sách bài tập giải tích 12. Trong các cặp hình phẳng giới hạn bởi các đường sau, cặp nào có diện tích bằng nhau?...

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Trong các cặp hình phẳng giới hạn bởi các đường sau, cặp nào có diện tích bằng nhau?

LG a

\(\displaystyle  {\rm{\{ }}y = x + \sin x,y = x\)  với \(\displaystyle  0 \le x \le \pi {\rm{\} }}\) và \(\displaystyle  {\rm{\{ }}y = x + \sin x,y = x\)  với \(\displaystyle  \pi  \le x \le 2\pi {\rm{\} }}\)

Phương pháp giải:

Tính diện tích mỗi cặp hình phẳng đã cho và suy ra kết luận.

Giải chi tiết:

Ta có: \(\displaystyle  x + \sin x = x \Leftrightarrow \sin x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = \pi \end{array} \right.\)

Khi đó \(\displaystyle  {S_1} = \int\limits_0^\pi  {\left| {x + \sin x - x} \right|dx} \) \(\displaystyle   = \int\limits_0^\pi  {\left| {\sin x} \right|dx} \) \(\displaystyle   = \int\limits_0^\pi  {\sin xdx}  =  - \left. {\cos x} \right|_0^\pi \) \(\displaystyle   =  - \cos \pi  + \cos 0 = 1 + 1 = 2\)

\(\displaystyle  {S_2} = \int\limits_\pi ^{2\pi } {\left| {x + \sin x - x} \right|dx} \) \(\displaystyle   = \int\limits_\pi ^{2\pi } {\left| {\sin x} \right|dx} \) \(\displaystyle   = \int\limits_\pi ^{2\pi } {\left( { - \sin x} \right)dx}  = \left. {\cos x} \right|_\pi ^{2\pi }\) \(\displaystyle   = \cos 2\pi  - \cos \pi  = 1 + 1 = 2\)

Do đó \(\displaystyle  {S_1} = {S_2}\).

LG b

\(\displaystyle  \;{\rm{\{ }}y = \sin x,y = 0\) với \(\displaystyle  0 \le x \le \pi {\rm{\} }}\) và \(\displaystyle  {\rm{\{ }}y = \cos x,y = 0\)  với \(\displaystyle  0 \le x \le \pi {\rm{\} }}\);

Phương pháp giải:

Tính diện tích mỗi cặp hình phẳng đã cho và suy ra kết luận.

Giải chi tiết:

\(\displaystyle  {S_1} = \int\limits_0^\pi  {\left| {\sin x} \right|dx}  = \int\limits_0^\pi  {\sin xdx} \) \(\displaystyle   =  - \left. {\cos x} \right|_0^\pi \)\(\displaystyle   =  - \cos \pi  + \cos 0 = 1 + 1 = 2\)

\(\displaystyle  {S_2} = \int\limits_0^\pi  {\left| {\cos x} \right|dx} \) \(\displaystyle   = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left| {\cos x} \right|dx}  + \int\limits_{\frac{\pi }{2}}^\pi  {\left| {\cos x} \right|dx} \) \(\displaystyle   = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\cos xdx}  - \int\limits_{\frac{\pi }{2}}^\pi  {\cos xdx} \) \(\displaystyle   = \left. {\sin x} \right|_0^{\frac{\pi }{2}} - \left. {\sin x} \right|_{\frac{\pi }{2}}^\pi \)

\(\displaystyle   = \sin \frac{\pi }{2} - \sin 0 - \sin \pi  + \sin \frac{\pi }{2}\) \(\displaystyle   = 1 - 0 - 0 + 1 = 2\)

Do đó \(\displaystyle  {S_1} = {S_2}\).

LG c

\(\displaystyle  {\rm{\{ }}y = \sqrt x ,y = {x^2}{\rm{\} }}\) và \(\displaystyle  {\rm{\{ }}y = \sqrt {1 - {x^2}} ,y = 1 - x{\rm{\} }}\)

Phương pháp giải:

Tính diện tích mỗi cặp hình phẳng đã cho và suy ra kết luận.

Giải chi tiết:

Ta có: \(\displaystyle  \sqrt x  = {x^2} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\x = {x^4}\end{array} \right.\) \(\displaystyle   \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\x\left( {{x^3} - 1} \right) = 0\end{array} \right.\) \(\displaystyle  \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 1\end{array} \right.\)

Khi đó \(\displaystyle  {S_1} = \int\limits_0^1 {\left| {\sqrt x  - {x^2}} \right|dx} \) \(\displaystyle   = \left| {\int\limits_0^1 {\left( {\sqrt x  - {x^2}} \right)dx} } \right|\) \(\displaystyle   = \left| {\left. {\left( {\frac{2}{3}{x^{\frac{3}{2}}} - \frac{{{x^3}}}{3}} \right)} \right|_0^1} \right| = \left| {\frac{2}{3} - \frac{1}{3}} \right| = \frac{1}{3}\)

\(\displaystyle  \sqrt {1 - {x^2}}  = 1 - x\) \(\displaystyle   \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 - x \ge 0\\1 - {x^2} = {\left( {1 - x} \right)^2}\end{array} \right.\) \(\displaystyle   \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \le 1\\1 - {x^2} = 1 - 2x + {x^2}\end{array} \right.\)

\(\displaystyle   \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \le 1\\2{x^2} - 2x = 0\end{array} \right.\) \(\displaystyle   \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \le 1\\\left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 1\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 1\end{array} \right.\)

Khi đó \(\displaystyle  {S_2} = \int\limits_0^1 {\left| {\sqrt {1 - {x^2}}  - \left( {1 - x} \right)} \right|dx} \) \(\displaystyle   = \int\limits_0^1 {\left| {\sqrt {1 - {x^2}}  - 1 + x} \right|dx} \) \(\displaystyle   = \left| {\int\limits_0^1 {\left( {\sqrt {1 - {x^2}}  - 1 + x} \right)dx} } \right|\)

\(\displaystyle   = \left| {\int\limits_0^1 {\sqrt {1 - {x^2}} dx}  - \int\limits_0^1 {dx}  + \int\limits_0^1 {xdx} } \right|\) \(\displaystyle   = \left| {\int\limits_0^1 {\sqrt {1 - {x^2}} dx}  - 1 + \frac{1}{2}} \right|\) \(\displaystyle   = \left| {I - \frac{1}{2}} \right|\)

Tính \(\displaystyle  I = \int\limits_0^1 {\sqrt {1 - {x^2}} dx} \).

Đặt \(\displaystyle  x = \sin t \Rightarrow dx = \cos tdt\) \(\displaystyle   \Rightarrow I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\sqrt {1 - {{\sin }^2}t} .\cos tdt} \) \(\displaystyle   = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {{{\cos }^2}tdt} \)

\(\displaystyle   = \frac{1}{2}\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left( {1 + \cos 2t} \right)dt} \) \(\displaystyle   = \frac{1}{2}\left. {\left( {t + \frac{{\sin 2t}}{2}} \right)} \right|_0^{\frac{\pi }{2}}\) \(\displaystyle   = \frac{1}{2}.\frac{\pi }{2} = \frac{\pi }{4}\)

Do đó \(\displaystyle  {S_1} \ne {S_2}\).

Loigiaihay.com

Sub đăng ký kênh giúp Ad nhé !


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2022 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.


Góp ý Loigiaihay.com, nhận quà liền tay
Gửi bài