Bài 3.36 trang 179 SBT giải tích 12


Giải bài 3.36 trang 179 sách bài tập giải tích 12. Trong các cặp hình phẳng giới hạn bởi các đường sau, cặp nào có diện tích bằng nhau?...

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Trong các cặp hình phẳng giới hạn bởi các đường sau, cặp nào có diện tích bằng nhau?

LG a

\(\displaystyle  {\rm{\{ }}y = x + \sin x,y = x\)  với \(\displaystyle  0 \le x \le \pi {\rm{\} }}\) và \(\displaystyle  {\rm{\{ }}y = x + \sin x,y = x\)  với \(\displaystyle  \pi  \le x \le 2\pi {\rm{\} }}\)

Phương pháp giải:

Tính diện tích mỗi cặp hình phẳng đã cho và suy ra kết luận.

Giải chi tiết:

Ta có: \(\displaystyle  x + \sin x = x \Leftrightarrow \sin x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = \pi \end{array} \right.\)

Khi đó \(\displaystyle  {S_1} = \int\limits_0^\pi  {\left| {x + \sin x - x} \right|dx} \) \(\displaystyle   = \int\limits_0^\pi  {\left| {\sin x} \right|dx} \) \(\displaystyle   = \int\limits_0^\pi  {\sin xdx}  =  - \left. {\cos x} \right|_0^\pi \) \(\displaystyle   =  - \cos \pi  + \cos 0 = 1 + 1 = 2\)

\(\displaystyle  {S_2} = \int\limits_\pi ^{2\pi } {\left| {x + \sin x - x} \right|dx} \) \(\displaystyle   = \int\limits_\pi ^{2\pi } {\left| {\sin x} \right|dx} \) \(\displaystyle   = \int\limits_\pi ^{2\pi } {\left( { - \sin x} \right)dx}  = \left. {\cos x} \right|_\pi ^{2\pi }\) \(\displaystyle   = \cos 2\pi  - \cos \pi  = 1 + 1 = 2\)

Do đó \(\displaystyle  {S_1} = {S_2}\).

LG b

\(\displaystyle  \;{\rm{\{ }}y = \sin x,y = 0\) với \(\displaystyle  0 \le x \le \pi {\rm{\} }}\) và \(\displaystyle  {\rm{\{ }}y = \cos x,y = 0\)  với \(\displaystyle  0 \le x \le \pi {\rm{\} }}\);

Phương pháp giải:

Tính diện tích mỗi cặp hình phẳng đã cho và suy ra kết luận.

Giải chi tiết:

\(\displaystyle  {S_1} = \int\limits_0^\pi  {\left| {\sin x} \right|dx}  = \int\limits_0^\pi  {\sin xdx} \) \(\displaystyle   =  - \left. {\cos x} \right|_0^\pi \)\(\displaystyle   =  - \cos \pi  + \cos 0 = 1 + 1 = 2\)

\(\displaystyle  {S_2} = \int\limits_0^\pi  {\left| {\cos x} \right|dx} \) \(\displaystyle   = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left| {\cos x} \right|dx}  + \int\limits_{\frac{\pi }{2}}^\pi  {\left| {\cos x} \right|dx} \) \(\displaystyle   = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\cos xdx}  - \int\limits_{\frac{\pi }{2}}^\pi  {\cos xdx} \) \(\displaystyle   = \left. {\sin x} \right|_0^{\frac{\pi }{2}} - \left. {\sin x} \right|_{\frac{\pi }{2}}^\pi \)

\(\displaystyle   = \sin \frac{\pi }{2} - \sin 0 - \sin \pi  + \sin \frac{\pi }{2}\) \(\displaystyle   = 1 - 0 - 0 + 1 = 2\)

Do đó \(\displaystyle  {S_1} = {S_2}\).

LG c

\(\displaystyle  {\rm{\{ }}y = \sqrt x ,y = {x^2}{\rm{\} }}\) và \(\displaystyle  {\rm{\{ }}y = \sqrt {1 - {x^2}} ,y = 1 - x{\rm{\} }}\)

Phương pháp giải:

Tính diện tích mỗi cặp hình phẳng đã cho và suy ra kết luận.

Giải chi tiết:

Ta có: \(\displaystyle  \sqrt x  = {x^2} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\x = {x^4}\end{array} \right.\) \(\displaystyle   \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\x\left( {{x^3} - 1} \right) = 0\end{array} \right.\) \(\displaystyle  \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 1\end{array} \right.\)

Khi đó \(\displaystyle  {S_1} = \int\limits_0^1 {\left| {\sqrt x  - {x^2}} \right|dx} \) \(\displaystyle   = \left| {\int\limits_0^1 {\left( {\sqrt x  - {x^2}} \right)dx} } \right|\) \(\displaystyle   = \left| {\left. {\left( {\frac{2}{3}{x^{\frac{3}{2}}} - \frac{{{x^3}}}{3}} \right)} \right|_0^1} \right| = \left| {\frac{2}{3} - \frac{1}{3}} \right| = \frac{1}{3}\)

\(\displaystyle  \sqrt {1 - {x^2}}  = 1 - x\) \(\displaystyle   \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 - x \ge 0\\1 - {x^2} = {\left( {1 - x} \right)^2}\end{array} \right.\) \(\displaystyle   \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \le 1\\1 - {x^2} = 1 - 2x + {x^2}\end{array} \right.\)

\(\displaystyle   \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \le 1\\2{x^2} - 2x = 0\end{array} \right.\) \(\displaystyle   \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \le 1\\\left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 1\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 1\end{array} \right.\)

Khi đó \(\displaystyle  {S_2} = \int\limits_0^1 {\left| {\sqrt {1 - {x^2}}  - \left( {1 - x} \right)} \right|dx} \) \(\displaystyle   = \int\limits_0^1 {\left| {\sqrt {1 - {x^2}}  - 1 + x} \right|dx} \) \(\displaystyle   = \left| {\int\limits_0^1 {\left( {\sqrt {1 - {x^2}}  - 1 + x} \right)dx} } \right|\)

\(\displaystyle   = \left| {\int\limits_0^1 {\sqrt {1 - {x^2}} dx}  - \int\limits_0^1 {dx}  + \int\limits_0^1 {xdx} } \right|\) \(\displaystyle   = \left| {\int\limits_0^1 {\sqrt {1 - {x^2}} dx}  - 1 + \frac{1}{2}} \right|\) \(\displaystyle   = \left| {I - \frac{1}{2}} \right|\)

Tính \(\displaystyle  I = \int\limits_0^1 {\sqrt {1 - {x^2}} dx} \).

Đặt \(\displaystyle  x = \sin t \Rightarrow dx = \cos tdt\) \(\displaystyle   \Rightarrow I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\sqrt {1 - {{\sin }^2}t} .\cos tdt} \) \(\displaystyle   = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {{{\cos }^2}tdt} \)

\(\displaystyle   = \frac{1}{2}\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left( {1 + \cos 2t} \right)dt} \) \(\displaystyle   = \frac{1}{2}\left. {\left( {t + \frac{{\sin 2t}}{2}} \right)} \right|_0^{\frac{\pi }{2}}\) \(\displaystyle   = \frac{1}{2}.\frac{\pi }{2} = \frac{\pi }{4}\)

Do đó \(\displaystyle  {S_1} \ne {S_2}\).

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu

>> Luyện thi tốt nghiệp THPT và Đại học năm 2021, mọi lúc, mọi nơi tất cả các môn cùng các thầy cô giỏi nổi tiếng, dạy hay dễ hiểu trên Tuyensinh247.com. Đã có đầy đủ các khóa học từ nền tảng tới luyện thi chuyên sâu.


Gửi bài