Bài 3.36 trang 179 SBT giải tích 12


Giải bài 3.36 trang 179 sách bài tập giải tích 12. Trong các cặp hình phẳng giới hạn bởi các đường sau, cặp nào có diện tích bằng nhau?...

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Trong các cặp hình phẳng giới hạn bởi các đường sau, cặp nào có diện tích bằng nhau?

LG a

\(\displaystyle  {\rm{\{ }}y = x + \sin x,y = x\)  với \(\displaystyle  0 \le x \le \pi {\rm{\} }}\) và \(\displaystyle  {\rm{\{ }}y = x + \sin x,y = x\)  với \(\displaystyle  \pi  \le x \le 2\pi {\rm{\} }}\)

Phương pháp giải:

Tính diện tích mỗi cặp hình phẳng đã cho và suy ra kết luận.

Giải chi tiết:

Ta có: \(\displaystyle  x + \sin x = x \Leftrightarrow \sin x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = \pi \end{array} \right.\)

Khi đó \(\displaystyle  {S_1} = \int\limits_0^\pi  {\left| {x + \sin x - x} \right|dx} \) \(\displaystyle   = \int\limits_0^\pi  {\left| {\sin x} \right|dx} \) \(\displaystyle   = \int\limits_0^\pi  {\sin xdx}  =  - \left. {\cos x} \right|_0^\pi \) \(\displaystyle   =  - \cos \pi  + \cos 0 = 1 + 1 = 2\)

\(\displaystyle  {S_2} = \int\limits_\pi ^{2\pi } {\left| {x + \sin x - x} \right|dx} \) \(\displaystyle   = \int\limits_\pi ^{2\pi } {\left| {\sin x} \right|dx} \) \(\displaystyle   = \int\limits_\pi ^{2\pi } {\left( { - \sin x} \right)dx}  = \left. {\cos x} \right|_\pi ^{2\pi }\) \(\displaystyle   = \cos 2\pi  - \cos \pi  = 1 + 1 = 2\)

Do đó \(\displaystyle  {S_1} = {S_2}\).

LG b

\(\displaystyle  \;{\rm{\{ }}y = \sin x,y = 0\) với \(\displaystyle  0 \le x \le \pi {\rm{\} }}\) và \(\displaystyle  {\rm{\{ }}y = \cos x,y = 0\)  với \(\displaystyle  0 \le x \le \pi {\rm{\} }}\);

Phương pháp giải:

Tính diện tích mỗi cặp hình phẳng đã cho và suy ra kết luận.

Giải chi tiết:

\(\displaystyle  {S_1} = \int\limits_0^\pi  {\left| {\sin x} \right|dx}  = \int\limits_0^\pi  {\sin xdx} \) \(\displaystyle   =  - \left. {\cos x} \right|_0^\pi \)\(\displaystyle   =  - \cos \pi  + \cos 0 = 1 + 1 = 2\)

\(\displaystyle  {S_2} = \int\limits_0^\pi  {\left| {\cos x} \right|dx} \) \(\displaystyle   = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left| {\cos x} \right|dx}  + \int\limits_{\frac{\pi }{2}}^\pi  {\left| {\cos x} \right|dx} \) \(\displaystyle   = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\cos xdx}  - \int\limits_{\frac{\pi }{2}}^\pi  {\cos xdx} \) \(\displaystyle   = \left. {\sin x} \right|_0^{\frac{\pi }{2}} - \left. {\sin x} \right|_{\frac{\pi }{2}}^\pi \)

\(\displaystyle   = \sin \frac{\pi }{2} - \sin 0 - \sin \pi  + \sin \frac{\pi }{2}\) \(\displaystyle   = 1 - 0 - 0 + 1 = 2\)

Do đó \(\displaystyle  {S_1} = {S_2}\).

LG c

\(\displaystyle  {\rm{\{ }}y = \sqrt x ,y = {x^2}{\rm{\} }}\) và \(\displaystyle  {\rm{\{ }}y = \sqrt {1 - {x^2}} ,y = 1 - x{\rm{\} }}\)

Phương pháp giải:

Tính diện tích mỗi cặp hình phẳng đã cho và suy ra kết luận.

Giải chi tiết:

Ta có: \(\displaystyle  \sqrt x  = {x^2} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\x = {x^4}\end{array} \right.\) \(\displaystyle   \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\x\left( {{x^3} - 1} \right) = 0\end{array} \right.\) \(\displaystyle  \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 1\end{array} \right.\)

Khi đó \(\displaystyle  {S_1} = \int\limits_0^1 {\left| {\sqrt x  - {x^2}} \right|dx} \) \(\displaystyle   = \left| {\int\limits_0^1 {\left( {\sqrt x  - {x^2}} \right)dx} } \right|\) \(\displaystyle   = \left| {\left. {\left( {\frac{2}{3}{x^{\frac{3}{2}}} - \frac{{{x^3}}}{3}} \right)} \right|_0^1} \right| = \left| {\frac{2}{3} - \frac{1}{3}} \right| = \frac{1}{3}\)

\(\displaystyle  \sqrt {1 - {x^2}}  = 1 - x\) \(\displaystyle   \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 - x \ge 0\\1 - {x^2} = {\left( {1 - x} \right)^2}\end{array} \right.\) \(\displaystyle   \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \le 1\\1 - {x^2} = 1 - 2x + {x^2}\end{array} \right.\)

\(\displaystyle   \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \le 1\\2{x^2} - 2x = 0\end{array} \right.\) \(\displaystyle   \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \le 1\\\left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 1\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 1\end{array} \right.\)

Khi đó \(\displaystyle  {S_2} = \int\limits_0^1 {\left| {\sqrt {1 - {x^2}}  - \left( {1 - x} \right)} \right|dx} \) \(\displaystyle   = \int\limits_0^1 {\left| {\sqrt {1 - {x^2}}  - 1 + x} \right|dx} \) \(\displaystyle   = \left| {\int\limits_0^1 {\left( {\sqrt {1 - {x^2}}  - 1 + x} \right)dx} } \right|\)

\(\displaystyle   = \left| {\int\limits_0^1 {\sqrt {1 - {x^2}} dx}  - \int\limits_0^1 {dx}  + \int\limits_0^1 {xdx} } \right|\) \(\displaystyle   = \left| {\int\limits_0^1 {\sqrt {1 - {x^2}} dx}  - 1 + \frac{1}{2}} \right|\) \(\displaystyle   = \left| {I - \frac{1}{2}} \right|\)

Tính \(\displaystyle  I = \int\limits_0^1 {\sqrt {1 - {x^2}} dx} \).

Đặt \(\displaystyle  x = \sin t \Rightarrow dx = \cos tdt\) \(\displaystyle   \Rightarrow I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\sqrt {1 - {{\sin }^2}t} .\cos tdt} \) \(\displaystyle   = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {{{\cos }^2}tdt} \)

\(\displaystyle   = \frac{1}{2}\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left( {1 + \cos 2t} \right)dt} \) \(\displaystyle   = \frac{1}{2}\left. {\left( {t + \frac{{\sin 2t}}{2}} \right)} \right|_0^{\frac{\pi }{2}}\) \(\displaystyle   = \frac{1}{2}.\frac{\pi }{2} = \frac{\pi }{4}\)

Do đó \(\displaystyle  {S_1} \ne {S_2}\).

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 12 - Xem ngay

Group Ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí