Bài 3.30 trang 115 SBT hình học 12


Giải bài 3.30 trang 115 sách bài tập hình học 12. Lập phương trình của mặt phẳng đi qua điểm M(1; 2; 3) và cắt ba tia Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B, C sao cho thể tích tứ diện OABC nhỏ nhất.

Đề bài

Lập phương trình của mặt phẳng \((\alpha )\) đi qua điểm M(1; 2; 3) và cắt ba tia Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B, C sao cho thể tích tứ diện OABC nhỏ nhất.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

- Lập phương trình mặt chắn đi qua các điểm \(A,B,C\).

- Viết công thức tính thể tích tứ diện và đánh giá GTNN.

Lời giải chi tiết

Gọi giao điểm của \((\alpha )\) với ba tia Ox, Oy, Oz lần lượt là A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0 ; c)

(a, b, c > 0).

Mặt phẳng \((\alpha )\) có phương trình theo đoạn chắn là: \(\left( \alpha  \right):\dfrac{x}{a} + \dfrac{y}{b} + \dfrac{z}{c} = 1\) (1)

Do \((\alpha )\)  đi qua M(1; 2; 3) nên ta thay tọa độ của điểm M vào (1): \(\dfrac{1}{a} + \dfrac{2}{b} + \dfrac{3}{c} = 1\)

Thể tích của tứ diện OABC là  \(V = \dfrac{1}{3}B.h = \dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{2}OA.OB.OC\) \( = \dfrac{1}{6}abc\)

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có:  \(1 = \dfrac{1}{a} + \dfrac{2}{b} + \dfrac{3}{c} \ge 3\sqrt[3]{{\dfrac{6}{{abc}}}} \) \( \Rightarrow  1 \ge \dfrac{{27.6}}{{abc}}\)

\( \Rightarrow    abc \ge 27.6 \Rightarrow    V \ge 27\)

Ta có:  V đạt giá trị nhỏ nhất  \(  \Leftrightarrow  V = 27 \Leftrightarrow   \dfrac{1}{a} = \dfrac{2}{b} = \dfrac{3}{c} = \dfrac{1}{3} \) \(\Leftrightarrow   \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = 3}\\{b = 6}\\{c = 9}\end{array}} \right.\)

Vậy phương trình mặt phẳng \((\alpha )\) thỏa mãn đề bài là:

\(\dfrac{x}{3} + \dfrac{y}{6} + \dfrac{z}{9} = 1\) hay \(6x + 3y + 2z – 18 = 0\).

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu

Các bài liên quan: - Bài 2: Phương trình mặt phẳng

>>Học trực tuyến luyện thi THPTQG, Đại học 2020, mọi lúc, mọi nơi tất cả các môn cùng các thầy cô giỏi nổi tiếng, dạy hay dễ hiểu trên Tuyensinh247.com. Đã có đầy đủ các khóa học từ nền tảng tới nâng cao.