Bài 3.25 trang 115 SBT hình học 12


Giải bài 3.25 trang 115 sách bài tập hình học 12. Cho hình lập phương ABCD. A’B’C’D’ có cạnh bằng 1. Dùng phương pháp tọa độ để:...

Đề bài

Cho hình lập phương ABCD. A’B’C’D’ có cạnh bằng 1. Dùng phương pháp tọa độ để:

a) Chứng minh hai mặt phẳng (AB’D’) và (BC’D) song song:

b) Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng đó.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Chọn hệ trục tọa độ, viết phương trình mặt phẳng \(\left( {AB'D'} \right),\left( {BC'D} \right)\) và suy ra điều kiện song song.

b) Sử dụng tính chất \(d\left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right) = d\left( {M,\left( Q \right)} \right)\) và công thức khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng \(d\left( {M,\left( Q \right)} \right) = \dfrac{{\left| {a{x_0} + b{y_0} + c{z_0} + d} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }}\)

Lời giải chi tiết

Ta chọn hệ trục tọa độ sao cho các đỉnh của hình lập phương có tọa độ là:

A(0; 0; 0)  , B(1;0; 0)   , D(0; 1; 0)

B’(1; 0 ; 1)  , D’(0; 1; 1)  , C’ (1; 1; 1)

a) Ta có:

\(\begin{array}{l}\overrightarrow {AB'}  = \left( {1;0;1} \right),\overrightarrow {AD'}  = \left( {0;1;1} \right)\\ \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {AB'} ,\overrightarrow {AD'} } \right] = \left( { - 1; - 1;1} \right)\end{array}\)

Mặt phẳng \(\left( {AB'D'} \right)\) đi qua \(A\left( {0;0;0} \right)\) và nhận \(\left[ {\overrightarrow {AB'} ,\overrightarrow {AD'} } \right] = \left( { - 1; - 1;1} \right)\) làm VTPT nên

\(\left( {AB'D'} \right):\)\( - \left( {x - 0} \right) - \left( {y - 0} \right) + \left( {z - 0} \right) = 0\)  hay \(x + y - z = 0\)

\(\begin{array}{l}\overrightarrow {BC'}  = \left( {0;1;1} \right),\overrightarrow {DC'}  = \left( {1;0;1} \right)\\ \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {BC'} ,\overrightarrow {DC'} } \right] = \left( {1;1; - 1} \right)\end{array}\)

Mặt phẳng \(\left( {BC'D} \right)\) đi qua \(B\left( {1;0;0} \right)\) và nhận \(\left[ {\overrightarrow {BC'} ,\overrightarrow {DC'} } \right] = \left( {1;1; - 1} \right)\) làm VTPT nên

\(\left( {BC'D} \right):\)\(\left( {x - 1} \right) + \left( {y - 0} \right) - \left( {z - 0} \right) = 0\)  hay \(x + y - z - 1 = 0\)

Ta có:   \(\dfrac{1}{1} = \dfrac{1}{1} = \dfrac{{ - 1}}{{ - 1}} \ne \dfrac{0}{{ - 1}}\).

Vậy  (AB’D’) // (BC’D)

b)  \(d((AB'D'),(BC'D))\)\( = d(A,(BC'D)) = \dfrac{{\left| {0 + 0 - 0 - 1} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2} + {1^2}} }} \) \(= \dfrac{1}{{\sqrt 3 }}\)

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu

Các bài liên quan: - Bài 2: Phương trình mặt phẳng

>> Luyện thi tốt nghiệp THPT và Đại học năm 2021, mọi lúc, mọi nơi tất cả các môn cùng các thầy cô giỏi nổi tiếng, dạy hay dễ hiểu trên Tuyensinh247.com. Đã có đầy đủ các khóa học từ nền tảng tới luyện thi chuyên sâu.


Gửi bài