Bài 10 trang 170 SBT hình học 12


Đề bài

Trong không gian Oxyz, cho S(0; 0; 2), A(0; 0; 0), B(1; 2; 0), C(0; 2; 0)

a) Viết phương trình của mặt phẳng (P) qua A và vuông góc với SB;

b) Tìm tọa độ của các điểm B' là gia của (P) với đường thẳng SB, C' là giao của (P) với đường thẳng SC;

c) Tính thể tích tứ diện SAB'C';

d) Tìm điểm đối xứng với B qua mặt phẳng (P);

e) Chứng minh các điểm A, B, C, B', C' cùng thuộc một mặt cầu. Viết phương trình của mặt cầu đó và phương trình của mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu đó tại C'.

Lời giải chi tiết

a) \(\overrightarrow {SB}  = \left( {1;2; - 2} \right)\)

Phương trình (P) đi qua A và nhận \(\overrightarrow {SB} \) làm VTPT là:

x + 2y - 2z = 0.

b) Phương trình đường thẳng SB: \(\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = 2t\\z = 2 - 2t\end{array} \right.\).

Để tìm B' ta giải hệ \(\left\{ \begin{array}{l}x + 2y - 2z = 0\\x = t\\y = 2t\\z = 2 - 2t\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow t + 2.2t - 2\left( {2 - 2t} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow 9t - 4 = 0 \Leftrightarrow t = \frac{4}{9}\)

\( \Rightarrow B'\left( {\frac{4}{9};\frac{8}{9};\frac{{10}}{9}} \right)\)

Tương tự, C'(0; 1; 1)

c)

\(\overrightarrow {C'B'}  = \left( {\frac{4}{9}; - \frac{1}{9};\frac{1}{9}} \right)\), \(\overrightarrow {AC'}  = \left( {0;1;1} \right)\)

\( \Rightarrow \overrightarrow {C'B'} .\overrightarrow {AC'}  = 0\) \( \Rightarrow C'B' \bot AC'\)

\( \Rightarrow {S_{AB'C'}} = \frac{1}{2}AC'.C'B'\) \( = \frac{1}{2}.\sqrt 2 .\sqrt {\frac{{16 + 1 + 1}}{{81}}}  = \frac{1}{3}\)

Mà \(SB' = \sqrt {S{A^2} - AB{'^2}} \) \( = \sqrt {4 - \frac{{20}}{9}}  = \frac{4}{3}\)

Vậy \({V_{S.AB'C'}} = \frac{4}{{27}}\).

d) Đường thẳng qua B và vuông góc với (P) có phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 2 + 2t\\z =  - 2t\end{array} \right.\)

Để tìm giao điểm Bo của đường thẳng này với (P) ta giải hệ

\(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 2 + 2t\\z =  - 2t\\x + 2y - 2z = 0\end{array} \right.\)\( \Rightarrow 1 + t + 2\left( {2 + 2t} \right) - 2\left( { - 2t} \right) = 0\)  \( \Leftrightarrow 9t + 5 = 0 \Leftrightarrow t =  - \frac{5}{9}\)

\( \Rightarrow {B_0}\left( {\frac{4}{9};\frac{8}{9};\frac{{10}}{9}} \right)\)

Từ đó suy ra điểm đối xứng với B qua (P) là \({B_1}\left( { - \frac{1}{9}; - \frac{2}{9};\frac{{20}}{9}} \right)\)

e) Dễ thấy \(\overrightarrow {BC}  \bot \overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {BC'}  \bot \overrightarrow {AC'} ,\overrightarrow {BB'}  \bot \overrightarrow {AB'} \) nên A, B, C, B', C' cùng thuộc mặt cầu tâm I(1/2; 1; 0) là trung điểm của AB, bán kính IA = (√5) /2

Phương trình mặt cầu đó là \({\left( {x - \frac{1}{2}} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {z^2} = \frac{5}{4}\)

Vì điểm C' thuộc mặt cầu, nên mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu tại C' phải vuông góc với \(\overrightarrow {IC'}  = \left( { - \frac{1}{2};0;1} \right)\)

Phương trình của mặt phẳng đó là: x - 2(z - 1) = 0 hay x - 2z + 2 = 0.

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu
  • Bài 9 trang 170 SBT hình học 12

    Giải bài 9 trang 170 sách bài tập hình học 12. Trong không gian Oxyz cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ với A(0;0;0), B(1;0;0), D(0;1;0), A’(0;0;1)...

  • Bài 8 trang 169 SBT hình học 12

    Giải bài 8 trang 169 sách bài tập hình học 12. Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S):...

  • Bài 7 trang 169 SBT hình học 12

    Giải bài 7 trang 169 sách bài tập hình học 12. Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): x + 2y - z + 5 = 0 và hai điểm A(-2; -1; 1), B(6; 6; 5)...

  • Bài 6 trang 169 SBT hình học 12

    Giải bài 6 trang 169 sách bài tập hình học 12. Cho hai đường thẳng...

  • Bài 5 trang 169 SBT hình học 12

    Giải bài 5 trang 169 sách bài tập hình học 12. Cho ba điểm A(1; 2; 1), B(2; -1; 1), C(0; 3; 1) và đường thẳng d: ...

  • Bài 4 trang 169 SBT hình học 12

    Giải bài 4 trang 169 sách bài tập hình học 12. Cho hình nón tròn xoay (H) đỉnh S, đáy là hình tròn bán kính R, chiều cao bằng h. Gọi (H') là hình trụ tròn xoay có đáy là hình tròn bán kính r (0 < r < R) nội tiếp (H)...

  • Bài 3 trang 169 SBT hình học 12

    Giải bài 3 trang 169 sách bài tập hình học 12. Cho tứ diện ABCD có AD = BC = a, BD = CA = b, CD = AB = c...

  • Bài 2 trang 168 SBT hình học 12

    Giải bài 2 trang 168 sách bài tập hình học 12. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và AD, H là giao điểm của MD và NC...

  • Bài 1 trang 168 SBT hình học 12

    Giải bài 1 trang 168 sách bài tập hình học 12. Cho lăng trụ ABC.A'B'C'...

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2022 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.


Hỏi bài