Bài 4 trang 169 SBT hình học 12


Đề bài

Cho hình nón tròn xoay (H) đỉnh S, đáy là hình tròn bán kính R, chiều cao bằng h.

Gọi (H') là hình trụ tròn xoay có đáy là hình tròn bán kính r (0 < r < R) nội tiếp (H).

a) Tính tỉ số thể tích của (H') và (H);

b) Xác định r để (H') có thể tích lớn nhất.

Lời giải chi tiết

a) Giả sử đường cao SI của hình nón (H) cắt hai đáy của hình trụ (H') tại I và I'.

Khi đó \(\frac{r}{R} = \frac{{SI'}}{h}\) \( \Rightarrow \frac{{R - r}}{R} = \frac{{h - SI'}}{h} = \frac{{I'I}}{h}\)  

Từ đó suy ra \(I'I = \frac{{h\left( {R - r} \right)}}{R}\)

\({V_{\left( H \right)}} = \frac{1}{3}\pi {R^2}h\)

\({V_{\left( {H'} \right)}} = \frac{1}{3}\pi {r^2}.\frac{{h\left( {R - r} \right)}}{R}\)

Do đó \(\frac{{{V_{\left( {H'} \right)}}}}{{{V_{\left( H \right)}}}} = \frac{{{r^2}\left( {R - r} \right)}}{{{R^3}}}\)

b) V(H') lớn nhất khi f(r) = r2(R - r) (với 0 < r < R) là lớn nhất.

Khảo sát hàm số f(r), với 0 < r < R.

Ta có f'(r) = 2Rr - 3r2 = 0, khi r = 0 (loại), hoặc r = 2R/3.

Lập bảng biến thiên ta thấy f(r) đạt cực đại tại r = 2R/3.

Khi đó \({V_{\left( {H'} \right)}} = \frac{4}{{81}}\pi {R^2}h\)

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2022 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.


Hỏi bài