Bài 3 trang 169 SBT hình học 12


Đề bài

Cho tứ diện ABCD có AD = BC = a, BD = CA = b, CD = AB = c.

a) Chứng minh rằng các đường vuông góc chung của các cặp cạnh đối diện đồng quy và đôi một vuông góc với nhau;

b) Tính VABCD theo a, b, c;

c) Chứng minh rằng tâm các mặt cầu nội tiếp và ngoại tiếp của tứ diện ABCD trùng nhau. Tính bán kính của các mặt cầu đó theo a, b, c.

Lời giải chi tiết

a) Gọi I và J lần lượt là trung điểm của AB và CD. Vì ΔACD = ΔBDC nên các tiếp tuyến tương ứng của chúng bằng nhau, do đó AJ = BJ. Từ đó suy ra IJ ⊥ AB. Tương tự, IJ ⊥ CD. Vậy IJ là đường vuông góc chung của AB và CD.

Làm tương tự đối với các cặp cạnh đối diện khác ta chứng minh được rằng đường nối trung điểm của các cặp cạnh đối diện là đường vuông góc chung của cặp cạnh đó. Do đó các đường đó đồng quy tại O là trung điểm của mỗi đường.

Gọi (P) là mặt phẳng qua AB và song song với CD, (Q) là mặt phẳng qua CD và song song với AB; A', B' lần lượt là hình chiếu vuông góc của A, B lên (Q); C', D' lần lượt là hình chiếu vuông góc của C, D lên (P). Dễ thấy AC'BD'.A'CB'D là hình hộp chữ nhật. Đường nối hai tâm của mỗi cặp mặt đối diện của hình hộp chữ nhật đó chính là đường vuông góc chung của các cặp cạnh đối diện của tứ diện ABCD. Do đó chúng đôi một vuông góc với nhau.

b) Đặt AC' = x, AD' = y, AA' = z.

Ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {y^2} = {c^2}\\{x^2} + {z^2} = {b^2}\\{y^2} + {z^2} = {a^2}\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} = \frac{{{c^2} + {b^2} - {a^2}}}{2}\\{y^2} = \frac{{{a^2} + {c^2} - {b^2}}}{2}\\{z^2} = \frac{{{b^2} + {a^2} - {c^2}}}{2}\end{array} \right.\)

Từ đó suy ra VABCD = VAC'BD'.A'CB'D/3\( = \frac{1}{{12}}.\sqrt {2\left( {{a^2} + {b^2} - {c^2}} \right)\left( {{a^2} + {c^2} - {b^2}} \right)\left( {{b^2} + {c^2} - {a^2}} \right)} \)

c) Ta có O là tâm của hình hộp chữ nhật AC'BD'.A'C'B'D nên nó là tâm của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD. Bán kính của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD là

\(r = \frac{{AB'}}{2} = \frac{{\sqrt {{x^2} + {y^2} + {z^2}} }}{2}\) \( = \frac{{\sqrt {2\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)} }}{8}\)

Gọi H và K theo thứ tự là chân đường vuông góc kẻ từ O đến (ABC) và (ABD). Vì OA = OB = OC nên HA = HB = HC, tương tự KA = KB = KD. Vì ΔABD = ΔBAC nên HA = KA. Do đó OH = OK. Tương tự, ta chứng minh được khoảng cách từ O đến các mặt của tứ diện ABCD bằng nhau nên O cũng là tâm của mặt cầu nội tiếp tứ diện ABCD.

Khi đó ta có VABCD = VOABC + VOBCD + VOCDA + VODAB

= 4VOABC = 4r'SABC/3

Do đó:

\(r' = \frac{3}{4}.\frac{{{V_{ABCD}}}}{{{S_{ABC}}}}\) \( = \frac{1}{{16}}.\frac{{\sqrt {2\left( {{a^2} + {b^2} - {c^2}} \right)\left( {{a^2} + {c^2} - {b^2}} \right)\left( {{b^2} + {c^2} - {a^2}} \right)} }}{{\sqrt {p\left( {p - a} \right)\left( {p - b} \right)\left( {p - c} \right)} }}\)

Trong đó \(p = \frac{{a + b + c}}{2}\).

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu
  • Bài 4 trang 169 SBT hình học 12

    Giải bài 4 trang 169 sách bài tập hình học 12. Cho hình nón tròn xoay (H) đỉnh S, đáy là hình tròn bán kính R, chiều cao bằng h. Gọi (H') là hình trụ tròn xoay có đáy là hình tròn bán kính r (0 < r < R) nội tiếp (H)...

  • Bài 5 trang 169 SBT hình học 12

    Giải bài 5 trang 169 sách bài tập hình học 12. Cho ba điểm A(1; 2; 1), B(2; -1; 1), C(0; 3; 1) và đường thẳng d: ...

  • Bài 6 trang 169 SBT hình học 12

    Giải bài 6 trang 169 sách bài tập hình học 12. Cho hai đường thẳng...

  • Bài 7 trang 169 SBT hình học 12

    Giải bài 7 trang 169 sách bài tập hình học 12. Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): x + 2y - z + 5 = 0 và hai điểm A(-2; -1; 1), B(6; 6; 5)...

  • Bài 8 trang 169 SBT hình học 12

    Giải bài 8 trang 169 sách bài tập hình học 12. Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S):...

  • Bài 9 trang 170 SBT hình học 12

    Giải bài 9 trang 170 sách bài tập hình học 12. Trong không gian Oxyz cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ với A(0;0;0), B(1;0;0), D(0;1;0), A’(0;0;1)...

  • Bài 10 trang 170 SBT hình học 12

    Giải bài 10 trang 170 sách bài tập hình học 12. Trong không gian Oxyz, cho S(0; 0; 2), A(0; 0; 0), B(1; 2; 0), C(0; 2; 0)...

  • Bài 2 trang 168 SBT hình học 12

    Giải bài 2 trang 168 sách bài tập hình học 12. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và AD, H là giao điểm của MD và NC...

  • Bài 1 trang 168 SBT hình học 12

    Giải bài 1 trang 168 sách bài tập hình học 12. Cho lăng trụ ABC.A'B'C'...

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2022 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.


Hỏi bài