Câu 8 trang 114 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao


Đề bài

Cho hình tứ diện ABCD có tất cả các cạnh bằng m. Các điểm M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD.

a) Tính độ dài MN.

b) Tính góc giữa đường thẳng MN với các đường thẳng BC, AB và CD.

Lời giải chi tiết

 

Đặt \(\overrightarrow {A{\rm{D}}}  = \overrightarrow a ,\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow b ,\overrightarrow {AC}  = \overrightarrow c \) .

Khi đó, ta có:

\(\overrightarrow a .\overrightarrow b  = \overrightarrow b .\overrightarrow c  = \overrightarrow c .\overrightarrow a  = {1 \over 2}{m^2}\)  và \({\overrightarrow a ^2} = {\overrightarrow b ^2} = {\overrightarrow c ^2} = {m^2}\)

a) Vì M, N là trung điểm của AB và CD nên

\(\overrightarrow {MN}  = {1 \over 2}\left( {\overrightarrow {A{\rm{D}}}  + \overrightarrow {BC} } \right)\)

hay \(\overrightarrow {MN}  = {1 \over 2}\left( {\overrightarrow a  + \overrightarrow c  - b} \right)\)

Vậy

Tức là \(MN = {{m\sqrt 2 } \over 2}\)

b) Ta có

\(\eqalign{  & \overrightarrow {MN} .\overrightarrow {AB}  = {1 \over 2}\left( {\overrightarrow a  + \overrightarrow c  - \overrightarrow b } \right).\overrightarrow b   \cr  &  = {1 \over 2}\left( {\overrightarrow a .\overrightarrow b  + \overrightarrow b .\overrightarrow c  - {{\overrightarrow b }^2}} \right)  \cr  &  = {1 \over 2}\left( {{{{m^2}} \over 2} + {{{m^2}} \over 2} - {m^2}} \right) = 0 \cr} \)

Vậy góc giữa hai đường thẳng MN và AB bằng 90°

Ta có:

Vậy góc giữa hai đường thẳng MN và CD bằng 90°.

Ta có :

Tức là:

\(\left| {\overrightarrow {MN} } \right|.\left| {\overrightarrow {BC} } \right|\cos \left( {\overrightarrow {MN} ,\overrightarrow {BC} } \right) = {1 \over 2}{m^2}\)

Từ đó \(\cos \left( {\overrightarrow {MN} ,\overrightarrow {BC} } \right) = {{{{{m^2}} \over 2}} \over {m.{{m\sqrt 2 } \over 2}}} = {{\sqrt 2 } \over 2}\)

Vậy góc giữa hai đường thẳng MN và BC bằng 45°.

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu

>> Học trực tuyến Lớp 11 trên Tuyensinh247.com. Cam kết giúp học sinh lớp 11 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.