Câu 10 trang 115 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao

Giải bài tập Câu 10 trang 115 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao

GÓP Ý HAY - NHẬN NGAY QUÀ CHẤT

Gửi góp ý cho Loigiaihay.com và nhận về những phần quà hấp dẫn

Đề bài

Cho ba tia Ox, Oy, Oz không đồng phẳng.

a) Đặt \(\widehat {xOy} = \alpha ,\widehat {yOz} = \beta ,\widehat {{\rm{zOx}}} = \gamma \) . Chứng minh rằng:

\(\cos \alpha + \cos \beta + \cos \gamma > - {3 \over 2}\)

b) Gọi \(O{x_1},O{y_1},O{z_1}\) lần lượt là các tia phân giác của các góc xOy, yOz, zOx. Chứng minh rằng nếu Ox₁ và Oy₁ vuông góc với nhau thì Oz₁ vuông góc với cả Ox₁ và Oy₁.

Lời giải chi tiết

Lấy \({E_1},{E_2},{E_3}\) lần lượt thuộc các tia Ox, Oy, Oz sao cho \(O{E_1} = O{E_2} = O{E_3}\).

Đặt \(\overrightarrow {O{E_1}} = \overrightarrow {{e_1}} ,\overrightarrow {O{E_2}} = \overrightarrow {{e_2}} ,\overrightarrow {O{E_3}} = \overrightarrow {{e_3}} \).

a) Do ba tia Ox, Oy, Oz không đồng phẳng nên\({\left( {{{\overrightarrow e }_1} + {{\overrightarrow e }_2} + {{\overrightarrow e }_3}} \right)^2} > 0\),

tức là

\(\eqalign{ & \overrightarrow e _1^2 + \overrightarrow e _2^2 + \overrightarrow e _3^2 \cr&+ 2\left( {{{\overrightarrow e }_1}.{{\overrightarrow e }_2} + {{\overrightarrow e }_2}.{{\overrightarrow e }_3} + {{\overrightarrow e }_3}.\overrightarrow {{e_1}} } \right) > 0 \cr & \Leftrightarrow 3{\rm{O}}E_1^2 + 2OE_1^2\left( {\cos \alpha + \cos \beta + \cos \gamma } \right) > 0 \cr} \)

Vậy \(\cos \alpha + cos\beta + cos\gamma > - {3 \over 2}\)

Dễ thấy

\(\eqalign{ & \overrightarrow {O{E_1}} + \overrightarrow {O{E_2}} //O{x_1} \cr & \overrightarrow {O{E_2}} + \overrightarrow {O{E_3}} //O{y_1} \cr & \overrightarrow {O{E_3}} + \overrightarrow {O{E_1}} //O{z_1} \cr & O{x_1} \bot O{y_1} \Leftrightarrow \left( {\overrightarrow {O{E_1}} + \overrightarrow {O{E_2}} } \right)\left( {\overrightarrow {O{E_2}} + \overrightarrow {O{E_3}} } \right) = 0 \cr} \)

hay \({\overrightarrow {O{E_2}} ^2} + \overrightarrow {O{E_1}} .\overrightarrow {O{E_2}} + \overrightarrow {O{E_1}} .\overrightarrow {O{E_3}} + \overrightarrow {O{E_2}} .\overrightarrow {O{E_3}} = 0\)

Ta có:

\(\eqalign{ & \left( {\overrightarrow {O{E_1}} + \overrightarrow {O{E_2}} } \right)\left( {\overrightarrow {O{E_3}} + \overrightarrow {O{E_1}} } \right) \cr & = {\overrightarrow {O{E_1}} ^2} + \overrightarrow {O{E_1}} .\overrightarrow {O{E_2}} + \overrightarrow {O{E_2}} .\overrightarrow {O{E_3}} + \overrightarrow {O{E_1}} .\overrightarrow {O{E_3}} \cr} \)

\(= 0\)

Vậy \(O{x_1} \bot O{z_1}\)

Tương tự, ta cũng có \(O{y_1} \bot O{z_1}\)

Loigiaihay.com

👉

Giải bài nhanh với AI Hay: