Câu 10 trang 115 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao


Đề bài

Cho ba tia Ox, Oy, Oz không đồng phẳng.

a) Đặt \(\widehat {xOy} = \alpha ,\widehat {yOz} = \beta ,\widehat {{\rm{zOx}}} = \gamma \) . Chứng minh rằng:

\(\cos \alpha  + \cos \beta  + \cos \gamma  >  - {3 \over 2}\)

b) Gọi \(O{x_1},O{y_1},O{z_1}\)  lần lượt là các tia phân giác của các góc xOy, yOz, zOx. Chứng minh rằng nếu Ox1 và Oy1 vuông góc với nhau thì Oz1 vuông góc với cả Ox1 và Oy1.

Lời giải chi tiết

Lấy \({E_1},{E_2},{E_3}\)  lần lượt thuộc các tia Ox, Oy, Oz sao cho \(O{E_1} = O{E_2} = O{E_3}\).

Đặt \(\overrightarrow {O{E_1}}  = \overrightarrow {{e_1}} ,\overrightarrow {O{E_2}}  = \overrightarrow {{e_2}} ,\overrightarrow {O{E_3}}  = \overrightarrow {{e_3}} \).

a) Do ba tia Ox, Oy, Oz không đồng phẳng nên\({\left( {{{\overrightarrow e }_1} + {{\overrightarrow e }_2} + {{\overrightarrow e }_3}} \right)^2} > 0\),

tức là

\(\eqalign{  & \overrightarrow e _1^2 + \overrightarrow e _2^2 + \overrightarrow e _3^2 \cr&+ 2\left( {{{\overrightarrow e }_1}.{{\overrightarrow e }_2} + {{\overrightarrow e }_2}.{{\overrightarrow e }_3} + {{\overrightarrow e }_3}.\overrightarrow {{e_1}} } \right) > 0  \cr  &  \Leftrightarrow 3{\rm{O}}E_1^2 + 2OE_1^2\left( {\cos \alpha  + \cos \beta  + \cos \gamma } \right) > 0 \cr} \)

Vậy \(\cos \alpha  + cos\beta  + cos\gamma  >  - {3 \over 2}\)

Dễ thấy

\(\eqalign{  & \overrightarrow {O{E_1}}  + \overrightarrow {O{E_2}} //O{x_1}  \cr  & \overrightarrow {O{E_2}}  + \overrightarrow {O{E_3}} //O{y_1}  \cr  & \overrightarrow {O{E_3}}  + \overrightarrow {O{E_1}} //O{z_1}  \cr  & O{x_1} \bot O{y_1} \Leftrightarrow \left( {\overrightarrow {O{E_1}}  + \overrightarrow {O{E_2}} } \right)\left( {\overrightarrow {O{E_2}}  + \overrightarrow {O{E_3}} } \right) = 0 \cr} \)

hay  \({\overrightarrow {O{E_2}} ^2} + \overrightarrow {O{E_1}} .\overrightarrow {O{E_2}}  + \overrightarrow {O{E_1}} .\overrightarrow {O{E_3}}  + \overrightarrow {O{E_2}} .\overrightarrow {O{E_3}}  = 0\)

Ta có:

\(\eqalign{  & \left( {\overrightarrow {O{E_1}}  + \overrightarrow {O{E_2}} } \right)\left( {\overrightarrow {O{E_3}}  + \overrightarrow {O{E_1}} } \right)  \cr  &  = {\overrightarrow {O{E_1}} ^2} + \overrightarrow {O{E_1}} .\overrightarrow {O{E_2}}  + \overrightarrow {O{E_2}} .\overrightarrow {O{E_3}}  + \overrightarrow {O{E_1}} .\overrightarrow {O{E_3}} \cr} \)

  \(= 0\)

Vậy \(O{x_1} \bot O{z_1}\)

Tương tự, ta cũng có \(O{y_1} \bot O{z_1}\)

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 11 - Xem ngay

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.