Giải SBT toán hình học và đại số 11 nâng cao Bài 1. Vectơ trong không gian. Sự đồng phẳng của các ve..

Câu 13 trang 115 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao


Đề bài

Cho tứ diện ABCD. Gọi I, J, H, K, E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, CD, BC, AD, AC, BD. Chứng minh rằng

\(A{B^2} + C{{\rm{D}}^2} + A{C^2} + B{{\rm{D}}^2} + B{C^2} + A{{\rm{D}}^2} \)

\(= 4\left( {I{J^2} + H{K^2} + E{F^2}} \right)\)

Lời giải chi tiết

Trước hết, ta chứng minh

\(A{C^2} + B{{\rm{D}}^2} + B{C^2} + A{{\rm{D}}^2} = A{B^2} + C{{\rm{D}}^2} + 4I{J^2}\)

Đặt \(\overrightarrow {DA}  = \overrightarrow a ,\overrightarrow {DB}  = \overrightarrow b ,\overrightarrow {DC}  = \overrightarrow c \)

Ta có:

\(\eqalign{  & \overrightarrow {IJ}  = \overrightarrow {IA}  + \overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {DJ}   \cr  &  =  - {{\overrightarrow {AB} } \over 2} + \overrightarrow {AD}  + {{\overrightarrow {DC} } \over 2}  \cr  &  =  - {1 \over 2}\left( { - \overrightarrow a  + \overrightarrow b } \right) + \left( { - \overrightarrow a } \right) + \left( {{{\overrightarrow c } \over 2}} \right)  \cr  &  = {{ - \overrightarrow a  - \overrightarrow b  + \overrightarrow c } \over 2}  \cr  & {\overrightarrow {AB} ^2} + {\overrightarrow {CD} ^2} + 4{\overrightarrow {IJ} ^2}  \cr  &  = {\left( {\overrightarrow b  - \overrightarrow a } \right)^2} + {\overrightarrow c ^2} + {\left( {\overrightarrow a  + \overrightarrow b  - \overrightarrow c } \right)^2}  \cr  &  = 2{\overrightarrow b ^2} + 2{\overrightarrow a ^2} + 2{\overrightarrow c ^2} - 2\overrightarrow a .\overrightarrow c  - 2\overrightarrow b .\overrightarrow c   \cr  & {\overrightarrow {AC} ^2} + {\overrightarrow {BD} ^2} + {\overrightarrow {BC} ^2} + {\overrightarrow {AD} ^2}  \cr  &  = {\left( {\overrightarrow c  - \overrightarrow a } \right)^2} + {\overrightarrow b ^2} + {\left( {\overrightarrow c  - \overrightarrow b } \right)^2} + {\overrightarrow a ^2}  \cr  &  = 2{\overrightarrow a ^2} + 2{\overrightarrow b ^2} + 2{\overrightarrow c ^2} - 2\overrightarrow a .\overrightarrow c  - 2\overrightarrow b .\overrightarrow c  \cr} \)

Vậy, ta có:

\(A{C^2} + B{{\rm{D}}^2} + B{C^2} + A{{\rm{D}}^2} = A{B^2} + C{{\rm{D}}^2} + 4I{J^2}\)

Tương tự, ta có:

\(A{C^2} + B{{\rm{D}}^2} + A{B^2} + C{{\rm{D}}^2}\)

\(= B{C^2} + A{{\rm{D}}^2} + 4H{K^2}\)

\( A{B^2} + C{{\rm{D}}^2} + B{C^2} + A{{\rm{D}}^2} \)

\(= A{C^2} + B{D^2} + 4E{F^2} \)

Từ đó suy ra:

\(A{B^2} + C{{\rm{D}}^2} + A{C^2} + B{{\rm{D}}^2} + B{C^2} + A{{\rm{D}}^2}\)

\(= 4\left( {I{J^2} + H{K^2} + E{F^2}} \right)\)

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4 trên 4 phiếu
Bài tiếp theo

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 11 - Xem ngay

Báo lỗi - Góp ý

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2023 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.

Các bài khác cùng chuyên mục


App Loigiaihay trên google play store App Loigiaihay trên apple store

Đăng ký để nhận lời giải hay và tài liệu miễn phí

Cho phép loigiaihay.com gửi các thông báo đến bạn để nhận được các lời giải hay cũng như tài liệu miễn phí.

Đồng ý Bỏ qua