Giải SBT toán hình học và đại số 11 nâng cao Bài 1. Vectơ trong không gian. Sự đồng phẳng của các ve..

Câu 5 trang 114 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao


Giải bài tập Câu 5 trang 114 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao

Đề bài

Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có các cạnh bằng m, các góc tại A bằng 600 \(\left( {\widehat {BA{\rm{D}}} = \widehat {A'AB} = \widehat {A'A{\rm{D}}} = {{60}^0}} \right)\) . Gọi P và Q là các điểm xác định bởi \(\overrightarrow {AP}  = \overrightarrow {D'A} ,\overrightarrow {C'Q}  = \overrightarrow {DC'} \). Chứng minh rằng đường thẳng PQ đi qua trung điểm của cạnh BB’. Tính độ dài đoạn thẳng PQ.

Lời giải chi tiết

  

Đặt \(\overrightarrow {AA'}  = \overrightarrow a ,\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow b ,\overrightarrow {AD}  = \overrightarrow c \) .

Ta có: \(\overrightarrow a .\overrightarrow b  = \overrightarrow b .\overrightarrow c  = \overrightarrow c .\overrightarrow a  = {1 \over 2}{m^2}\)

và \({\overrightarrow a ^2} = {\overrightarrow b ^2} = {\overrightarrow c ^2} = {m^2}\) .

Gọi M là trung điểm của BB’ thì

\(\overrightarrow {MP}  = \overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {BA}  + \overrightarrow {AP} \).

Do \(\overrightarrow {AP}  = \overrightarrow {D'A}  =  - \overrightarrow a  - \overrightarrow c \).

nên

 \(\eqalign{  & \overrightarrow {MP}  =  - {{\overrightarrow a } \over 2} - \overrightarrow b  - \overrightarrow a  - \overrightarrow c   \cr  &  =  - {3 \over 2}\overrightarrow a  - \overrightarrow b  - \overrightarrow c  \cr} \)

Mặt khác 

\(\eqalign{
& \overrightarrow {MQ} = \overrightarrow {MB'} + \overrightarrow {B'C'} + \overrightarrow {C'Q} \cr 
& \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \overrightarrow {MB'} + \overrightarrow {B'C'} + \overrightarrow {DC'} \cr 
& \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {3 \over 2}\overrightarrow a + \overrightarrow b + \overrightarrow c \cr} \)

Như vậy \(\overrightarrow {MP}  =  - \overrightarrow {MQ} \) , tức là ba điểm P, M, Q thẳng hàng hay đường thẳng PQ đi qua trung điểm của cạnh BB’.

Ta có:

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu
Bài tiếp theo

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 11 - Xem ngay

Báo lỗi - Góp ý

Tham Gia Group Dành Cho 2K8 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Các bài khác cùng chuyên mục


App Loigiaihay trên google play store App Loigiaihay trên apple store

Copyright © 2021 loigiaihay.com

DMCA.com Protection Status
App Loigiaihay trên apple store App Loigiaihay trên google play store