Bài 3: Phép đối xứng trục

Bài 20 trang 8 SBT Hình Học 11 nâng cao

Giải bài 20 trang 8 sách bài tập Hình Học 11 nâng cao. Chứng minh rằng: a) Hợp thành của hai phép đối xứng trục có các trục đối xứng song song là một phép tịnh tiến.

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Chứng minh rằng:

LG a

Hợp thành của hai phép đối xứng trục có các trục đối xứng song song là một phép tịnh tiến.

Lời giải chi tiết:

Giả sử \({Đ_a},\,{Đ_b}\) là các phép đối xứng trục có trục lần lượt là a, b mà a//b và F là hợp thành của \({Đ_a}\) và \({Đ_b}\). Lấy hai điểm A, B lần lượt nằm trên a, b sao cho \(AB \bot a.\)

Với điểm M bất kì, \({Đ_a}\) biến M thành \({M_1}\) và \({Đ_b}\) biến \({M_1}\) thành \({M_2}\).

Nếu gọi H và K lần lượt là trung điểm của \(M{M_1}\) và \({M_1}{M_2}\) thì:

\(\eqalign{
& \overrightarrow {M{M_2}} = \overrightarrow {M{M_1}} + \overrightarrow {{M_1}{M_2}} \cr
& \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 2\left( {\overrightarrow {H{M_1}} + \overrightarrow {{M_1}K} } \right) = 2\overrightarrow {HK}\cr& \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 2\overrightarrow {AB} \cr} \)

Vì phép hợp thành F biến M thành \({M_2}\) thành \(\overrightarrow {M{M_2}} = 2\overrightarrow {AB} \) nên F là phép tịnh tiến theo vecto \(2\overrightarrow {AB} \).

LG b

Mỗi phép tịnh tiến đều có thể xem là hợp thành của hai phép đối xứng trục có trục đối xứng song song bằng nhiều cách.

Lời giải chi tiết:

Giả sử T là phép tịnh tiến theo vecto \(\overrightarrow u \).

Lấy một đường thẳng a nào đó vuông góc với \(\overrightarrow u \) và đường thẳng b là ảnh của a qua phép tịnh tiến theo \({1 \over 2}\overrightarrow u \) thì theo câu a) phép tịnh tiến T là hợp thành của phép đối xứng trục \({Đ_a}\) và phép đối xứng trục \({Đ_b}\).

Vì có nhiều cách chọn đường thẳng a, nên có nhiều phép đối xứng \({Đ_a}\) và \({Đ_b}\) có hợp thành là T.

LG c

Hợp thành của một số chẵn các phép đối xứng trục có trục đối xứng song song là một phép tịnh tiến.

Lời giải chi tiết:

Hợp thành của hai phép đối xứng có trục đối xứng song song là một phép tịnh tiến.

Vì vậy, hợp thành của 2n phép đối xứng trục (có trục đối xứng song song) là hợp thành của n phép tịnh tiến

Do đó cũng là phép tịnh tiến.

LG d

Hơp thành của một số lẻ các phép đối xứng có trục đối xứng song song là một phép đối xứng trục.

Lời giải chi tiết:

Giả sử F là hợp thành của 2n + 1 phép đối xứng trục.

Gọi phép đối xứng trục thứ nhất là \({Đ_a}\) (có trục là đường thẳng a), 2n phép đối xứng trục còn lại có hợp thành là phép tịnh tiến T.

Ta có thể xem T là hợp thành của hai phép đối xứng mà phép thứ nhất là \({Đ_a}\) và phép thứ hai là \({Đ_b}\).

Vậy F là hợp thành của ba phép đối xứng: \({Đ_a}\), \({Đ_a}\) và \({Đ_b}\).

Nhưng vì hợp thành của \({Đ_a}\) và \({Đ_a}\) là phép đồng nhất e nên F chính là phép đối xứng \({Đ_b}\).

LG e

Cho phép đối xứng trục \({Đ_a}\) qua đường thẳng a và phép tịnh tiến T theo vecto \(\overrightarrow v \) vuông góc với a. Chứng tỏ rằng hợp thành của \({Đ_a}\) và T là phép đối xứng trục, hợp thành của T và \({Đ_a}\) cũng là phép đối xứng trục.

Lời giải chi tiết:

Có thể xem phép tịnh tiến T là hợp thành của hai phép đối xứng trục \({Đ_b}\) và \({Đ_c}\).

Vì vecto tịnh tiến vuông góc với a nên a // b // c.

Do đó, ta được hợp thành của ba phép đối xứng có trục song song.

Vậy theo kết quả câu d) ta được một phép đối xứng trục.

Loigiaihay.com

Bình luận

Chia sẻ

Bình chọn:

4.9 trên 7 phiếu

Bài tiếp theo

Bài 21 trang 8 SBT Hình Học 11 nâng cao
Giải bài 21 trang 8 sách bài tập Hình Học 11 nâng cao. Cho hai đoạn thẳng bằng nhau AB = A’B’. Chứng minh rằng có thể tìm được một phép đối xứng trục hoặc hợp thành của hai phép đối xứng trục để biến A thành A’, biến B thành B’.
Bài 22 trang 8 SBT Hình Học 11 nâng cao
Giải bài 22 trang 8 sách bài tập Hình Học 11 nâng cao. Chứng minh rằng chỉ cần tối đa ba phép đối xứng trục để hợp thành của chúng biến tam giác ABC thành tam giác A’B’C’.
Bài 23 trang 8 SBT Hình Học 11 nâng cao
Giải bài 23 trang 8 sách bài tập Hình Học 11 nâng cao. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng d và đường tròn (C) lần lượt có phương trình.
Bài 24 trang 9 SBT Hình Học 11 nâng cao
Giải bài 24 trang 9 sách bài tập Hình Học 11 nâng cao. Gọi m là đường phân giác ngoài tại A của tam giác ABC. Chứng minh rằng với mọi điểm M trên m, chu vi của tam giác MBC không nhỏ hơn chu vi tam giác ABC.
Bài 25 trang 9 SBT Hình Học 11 nâng cao
Giải bài 25 trang 9 sách bài tập Hình Học 11 nâng cao. Chứng minh rằng m chỉ cắt (E) tại điểm M duy nhất (đường thẳng m như thế được gọi là tiếp tuyến của (E) tại điểm M).
Bài 26 trang 9 SBT Hình Học 11 nâng cao
Giải bài 26 trang 9 sách bài tập Hình Học 11 nâng cao. Chứng minh rằng m chỉ cắt (H) tại điểm M duy nhất.( Đường thẳng m như thế được gọi là tiếp tuyến của (H) tại điểm M).
Bài 27 trang 9 SBT Hình Học 11 nâng cao
Giải bài 27 trang 9 sách bài tập Hình Học 11 nâng cao. Chứng minh rằng m chỉ cắt (P) tại điểm chung duy nhất M. (Đường thẳng m như thế được gọi là tiếp tuyến của (P) tại điểm M).
Bài 28 trang 9 SBT Hình Học 11 nâng cao
Giải bài 28 trang 9 sách bài tập Hình Học 11 nâng cao. Chứng minh rằng các đường thẳng AA’, BB’, CC’ đồng quy.
Bài 29 trang 9 SBT Hình Học 11 nâng cao
Giải bài 29 trang 9 sách bài tập Hình Học 11 nâng cao. Chứng minh rằng các đường thẳng đi qua A’ vuông góc với BC, qua B’ vuông góc với AC, qua C’ vuông góc với AB đồng quy.
Bài 19 trang 8 SBT Hình Học 11 nâng cao
Giải bài 19 trang 8 sách bài tập Hình Học 11 nâng cao. Cho hai điểm A, B phân biệt. Có những phép dời hình nào biến A thành A và biến B thành B.
Bài 18 trang 8 SBT Hình Học 11 nâng cao
Giải bài 18 trang 8 sách bài tập Hình Học 11 nâng cao. Cho hai điểm phân biệt A, B và phép dời hình F khác với phép đồng nhất sao cho F(A) = A, F(B) = B.