Giải SBT toán hình học và đại số 10 nâng cao Bài 3. Hệ thức lượng trong tam giác.

Bài 75 trang 50 SBT Hình học 10 Nâng cao


Giải bài tập Bài 75 trang 50 SBT Hình học 10 Nâng cao

Đề bài

Cho tam giác \(ABC\) có bán kính đường tròn nội tiếp bằng \(r\) và các bán kính đường tròn bàng tiếp các góc \(A, B, C\) tương ứng bằng \(r_a, r_b, r_c\).

Chứng minh rằng nếu \(r = {r_a} - {r_b} - {r_c}\) thì góc \(A\) là góc vuông.

Lời giải chi tiết

Từ bài 74 chương II, ta suy ra \({r_a} = \dfrac{S}{{p - a}},\) tương tự \({r_b} = \dfrac{S}{{p - b}} ;  {r_c} = \dfrac{S}{{p - c}}\).

Mặt khác, từ công thức tính diện tích ta có \(r = \dfrac{S}{p}\).

Từ giả thiết suy ra:

\(\dfrac{1}{{p - a}} - \dfrac{1}{p} = \dfrac{1}{{p - b}} + \dfrac{1}{{p - c}}\)

\(\Rightarrow   \dfrac{a}{{p(p - a)}} = \dfrac{{2p - (b + c)}}{{(p - b)(p - c)}}\).

Vì \(2p - (b + c) = a\), suy ra \(p(p - a) = (p - b)(p - c)\).

\(\begin{array}{l}pa = p(b + c)  - bc  \\\Rightarrow   bc = p(b + c - a) \\= \dfrac{{b + c + a}}{2}.(b + c - a)\\\Rightarrow   2bc = {(b + c)^2} - {a^2}\\\Rightarrow   {b^2} + {c^2} - {a^2} = 0\\\Rightarrow  {b^2} + {c^2} = {a^2}.\end{array}\)

Theo định lí Py-ta-go ta có \(\widehat A = {90^0}\).

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu
Bài tiếp theo

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 10 - Xem ngay

Báo lỗi - Góp ý

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Các bài khác cùng chuyên mục


App Loigiaihay trên google play store App Loigiaihay trên apple store

Copyright © 2021 loigiaihay.com

DMCA.com Protection Status
App Loigiaihay trên apple store App Loigiaihay trên google play store