-
ĐẠI SỐ - SBT TOÁN 10 NÂNG CAO
-
Chương 1: Mệnh đề - Tập hợp
-
Chương 2: Hàm số
-
CHƯƠNG III. PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI
- Bài 1. Đại cương về phương trình
- Bài 2. Phương trình bậc nhất và bậc hai một ẩn
- Bài 3. Một số phương trình quy về phương trình bậc nhất hoặc bậc hai
- Bài 4. Phương trình và hệ phương trình bậc nhất nhiều ẩn
- Bài 5. Một số ví dụ về hệ phương trình bậc hai hai ẩn
- Bài tập Ôn tập chương III - Phương trình bậc nhất và bậc hai
-
CHƯƠNG IV. BẤT ĐẲNG THỨC VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH
- Bài 1. Bất đẳng thức và chứng minh bất đẳng thức
- Bài 2. Đại cương về bất phương trình
- Bài 3. Bất phương trình và hệ bất phương trình bậc nhất một ẩn
- Bài 4. Dấu của nhị thức bậc nhất
- Bài 5. Bất phương trình và hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn
- Bài 6. Dấu của tam thức bậc hai
- Bài 7. Bất phương trình bậc hai
- Bài 8. Một số phương trình và bất phương trình quy về bậc hai
- Bài tập Ôn tập chương IV - Bất đẳng thức và bất phương trình
-
CHƯƠNG V. THỐNG KÊ
-
CHƯƠNG VI. GÓC LƯỢNG GIÁC VÀ CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC
-
BÀI TẬP ÔN TẬP CUỐI NĂM - ĐẠI SỐ 10 NÂNG CAO
-
-
HÌNH HỌC-SBT TOÁN 10 NÂNG CAO
Bài 67 trang 49 SBT Hình học 10 Nâng cao
Giải bài tập Bài 67 trang 49 SBT Hình học 10 Nâng cao
Đề bài
Kẻ các đường cao \(AA’, BB’, CC’\) của tam giác nhọn \(ABC.\)
a) Chứng minh rằng \(B'C' = 2R\sin A\cos A\).
b) Lấy \(A_1, A_2\) lần lượt là điểm đối xứng với \(A’\) qua \(AB, AC\). Chứng minh rằng chu vi tam giác \(A’B’C’\) bằng độ dài đoạn thẳng \(A_1A_2\).
c) Chứng minh hệ thức:
\(\sin A\cos A + \sin B\cos B + \sin C\cos C \)
\(= 2\sin A\sin B\sin C\).
Lời giải chi tiết
(h.60).
a) Ta có
\(AB’=AB\cos A=2R \sin C \cos A.\)
Trong tam giác \(AB’C’\) có \(\dfrac{{B'C'}}{{\sin A}} = \dfrac{{AB'}}{{\sin C'}}\).
Nhưng \(\widehat {AC'B'} = \widehat C\) (do \(BC’B’C\) là tứ giác nội tiếp), suy ra \(\dfrac{{B'C'}}{{\sin A}} = \dfrac{{AB'}}{{\sin C}}\).
Từ đó suy ra
\(B'C' = \dfrac{{AB'\sin A}}{{\sin C'}}\)
\(= \dfrac{{2R\sin C\cos A\sin A}}{{\sin C}}\)
\(= 2R\sin A\cos A\).
b) Ta có \(\widehat {{A_1}C'B} = \widehat {BC'A'}\) (do \(A_1, A’\) đối xứng với nhau qua \(AB\)).
\(\widehat {BC'A'} = \widehat {AC'B'}\) (do \(AC’A’C\) và \(BC’B’C\) cùng là tứ giác nội tiếp).
Suy ra \(\widehat {{A_1}C'B} = \widehat {B'C'A}\). Vậy \(A_1, C’, B’\) thẳng hàng và \(A_1C’=A’C’.\)
Tương tự cũng có \(C’, B’, A_2\) thẳng hàng và \(B’A_2=B’A’.\)
Do đó, chu vi tam giác \(A’B’C’\) bằng
\(A’C’+C’B’+B’A’\)
\(=A_1C’+C’B’+B’A_2=A_1A_2\).
c) Do \(A_1\) và \(A’\) đối xứng nhau qua \(AB\) nên \(A{A_1} = AA' , \widehat {{A_1}AB} = \widehat {BAA'}\); \(A_2\) và \(A’\) đối xứng nhau qua \(AC\) nên \(A{A_2} = AA' , \widehat {A'AC} = \widehat {CA{A_2}}\). Do đó tam giác \(AA_1A_2\) là tam giác cân có góc ở đỉnh \(\widehat {{A_1}A{A_2}} = 2\widehat A\). Kẻ \(AK\) vuông góc với \(A_1A_2\), ta có
\(A_1A_2=2A_1K\)
\(=2AA_1 \sin A=2AA’\sin A\)
\(=2AB\sin B\sin A\)
\(=4R\sin C\sin B\sin A.\)
Mặt khác theo câu a), ta có
\(B’C’+B’A’+A’C’\)
\(=2R \sin A \cos A+2R \sin C \cos C\)\(+2R \sin B \cos B.\)
Từ đó suy ra hệ thức cần chứng minh.
Loigiaihay.com
Bình luận
Chia sẻ
- Bài 68 trang 49 SBT Hình học 10 Nâng cao
- Bài 69 trang 49 SBT Hình học 10 Nâng cao
- Bài 70 trang 49 SBT Hình học 10 Nâng cao
- Bài 71 trang 49 SBT Hình học 10 Nâng cao
- Bài 72 trang 49 SBT Hình học 10 Nâng cao
>> Xem thêm
Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 10 - Xem ngay
Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí
