Giải SBT toán hình học và đại số 10 nâng cao Bài 3. Hệ thức lượng trong tam giác.

Bài 67 trang 49 SBT Hình học 10 Nâng cao


Giải bài tập Bài 67 trang 49 SBT Hình học 10 Nâng cao

Đề bài

Kẻ các đường cao \(AA’, BB’, CC’\) của tam giác nhọn \(ABC.\)

a) Chứng minh rằng \(B'C' = 2R\sin A\cos A\).

b) Lấy \(A_1, A_2\) lần lượt là điểm đối xứng với \(A’\) qua \(AB, AC\). Chứng minh rằng chu vi tam giác \(A’B’C’\) bằng độ dài đoạn thẳng \(A_1A_2\).

c) Chứng minh hệ thức:

\(\sin A\cos A + \sin B\cos B + \sin C\cos C \)

\(= 2\sin A\sin B\sin C\).

Lời giải chi tiết

(h.60).

 

a) Ta có

\(AB’=AB\cos A=2R \sin C \cos A.\)

Trong tam giác \(AB’C’\) có \(\dfrac{{B'C'}}{{\sin A}} = \dfrac{{AB'}}{{\sin C'}}\).

Nhưng \(\widehat {AC'B'} = \widehat C\) (do \(BC’B’C\) là tứ giác nội tiếp), suy ra \(\dfrac{{B'C'}}{{\sin A}} = \dfrac{{AB'}}{{\sin C}}\).

Từ đó suy ra

\(B'C' = \dfrac{{AB'\sin A}}{{\sin C'}}\)

\(= \dfrac{{2R\sin C\cos A\sin A}}{{\sin C}}\)

\(= 2R\sin A\cos A\).

b) Ta có \(\widehat {{A_1}C'B} = \widehat {BC'A'}\) (do \(A_1, A’\) đối xứng với nhau qua \(AB\)).

\(\widehat {BC'A'} = \widehat {AC'B'}\) (do \(AC’A’C\) và \(BC’B’C\) cùng là tứ giác nội tiếp).

Suy ra \(\widehat {{A_1}C'B} = \widehat {B'C'A}\). Vậy \(A_1, C’, B’\) thẳng hàng và \(A_1C’=A’C’.\)

Tương tự cũng có \(C’, B’, A_2\) thẳng hàng và \(B’A_2=B’A’.\)

Do đó, chu vi tam giác \(A’B’C’\) bằng

\(A’C’+C’B’+B’A’\)

\(=A_1C’+C’B’+B’A_2=A_1A_2\).

c) Do \(A_1\) và \(A’\) đối xứng nhau qua \(AB\) nên \(A{A_1} = AA' ,  \widehat {{A_1}AB} = \widehat {BAA'}\); \(A_2\) và \(A’\) đối xứng nhau qua \(AC\) nên \(A{A_2} = AA' ,  \widehat {A'AC} = \widehat {CA{A_2}}\). Do đó tam  giác \(AA_1A_2\) là tam giác cân có góc ở đỉnh \(\widehat {{A_1}A{A_2}} = 2\widehat A\). Kẻ \(AK\) vuông góc với \(A_1A_2\), ta có

\(A_1A_2=2A_1K\)

\(=2AA_1 \sin A=2AA’\sin A\)

\(=2AB\sin B\sin A\)

\(=4R\sin C\sin B\sin A.\)

Mặt khác theo câu a), ta có

\(B’C’+B’A’+A’C’\)

\(=2R \sin A \cos A+2R \sin C \cos C\)\(+2R \sin B \cos B.\)

Từ đó suy ra hệ thức cần chứng minh.

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu
Bài tiếp theo

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 10 - Xem ngay

Báo lỗi - Góp ý

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Các bài khác cùng chuyên mục


App Loigiaihay trên google play store App Loigiaihay trên apple store

Copyright © 2021 loigiaihay.com

DMCA.com Protection Status
App Loigiaihay trên apple store App Loigiaihay trên google play store