Bài 62 trang 48 SBT Hình học 10 Nâng cao>
Giải bài tập Bài 62 trang 48 SBT Hình học 10 Nâng cao
Đề bài
Tìm quỹ tích những điểm có tổng bình phương các khoảng cách đến bốn đỉnh của một tứ giác bằng \(k^2\) không đổi.
Lời giải chi tiết
Xét tứ giác \(ABCD\). Gọi \(I, J\) lần lượ là trung điểm của \(AB, CD\) và \(G\) là trung điểm cùa \(IJ\) (h.56). Với mỗi điểm \(M,\) ta đều có:
\(\begin{array}{l}M{A^2} + M{B^2} + M{C^2} + M{D^2}\\ = 2M{I^2} + \dfrac{{A{B^2}}}{2} + 2M{J^2} + \dfrac{{C{D^2}}}{2}\\= 2\left( {2M{G^2} + \dfrac{{I{J^2}}}{2}} \right) + \dfrac{{A{B^2} + C{D^2}}}{2}\\= 4M{G^2} + \dfrac{{A{B^2} + C{D^2}}}{2} + I{J^2}.\end{array}\)
Từ đó suy ra
\(M{A^2} + M{B^2} + M{C^2} + M{D^2}\)
\(= {k^2} \Leftrightarrow 4M{G^2}\)
\(= {k^2} - \left( {\dfrac{{A{B^2} + C{D^2}}}{2} + I{J^2}} \right)\) không đổi.
Từ đó ta có:
Nếu \({k^2} - \left( {\dfrac{{A{B^2} + C{D^2}}}{2} + I{J^2}} \right) > 0\) thì quỹ tích điểm M là đường tròn tâm G, bán kính \(r = \sqrt {\dfrac{{{k^2} - \left( {\dfrac{{A{B^2} + C{D^2}}}{2} + I{J^2}} \right)}}{4}} \).
Nếu \({k^2} = \left( {\dfrac{{A{B^2} + C{D^2}}}{2} + I{J^2}} \right)\) thì quỹ tích điểm M là một điểm G.
Nếu \({k^2} - \left( {\dfrac{{A{B^2} + C{D^2}}}{2} + I{J^2}} \right) < 0\) thì qỹ tích điểm M là tập rỗng.
Loigiaihay.com
- Bài 63 trang 48 SBT Hình học 10 Nâng cao
- Bài 64 trang 48 SBT Hình học 10 Nâng cao
- Bài 65 trang 48 SBT Hình học 10 Nâng cao
- Bài 66 trang 48 SBT Hình học 10 Nâng cao
- Bài 67 trang 49 SBT Hình học 10 Nâng cao
>> Xem thêm