Giải SBT toán hình học và đại số 10 nâng cao Bài 3. Hệ thức lượng trong tam giác.

Bài 63 trang 48 SBT Hình học 10 Nâng cao


Giải bài tập Bài 63 trang 48 SBT Hình học 10 Nâng cao

Đề bài

Chứng minh rằng hai trung tuyến kẻ từ \(B\) và \(C\) của tam giác \(ABC\) vuông góc với nhau khi và chỉ khi có hệ thức sau:

\(\cot A = 2(\cot B + \cot C).\)

Lời giải chi tiết

 

Gọi \(G\) là trọng tâm tam giác ABC (h.57).

Khi đó \(GB \bot GC   \Leftrightarrow {a^2} = \dfrac{4}{9}\left( {m_b^2 + m_c^2} \right)\)

\(\begin{array}{l}\Leftrightarrow   9{a^2} = 4\left( {\dfrac{{{a^2} + {c^2}}}{2} - \dfrac{{{b^2}}}{4} + \dfrac{{{a^2} + {b^2}}}{2} - \dfrac{{{c^2}}}{4}} \right)\\ \Leftrightarrow   9{a^2} = 4{a^2} + {b^2} + {c^2}\\\Leftrightarrow   5{a^2} = {b^2} + {c^2}.\end{array}\)

Biến đổi đẳng thức \(\cot A = 2\left( {\cot B + \cot C} \right)\)

\( \Leftrightarrow   \dfrac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{abc}}R\)

\(= 2\left( {\dfrac{{{a^2} + {c^2} - {b^2}}}{{abc}}R + \dfrac{{{a^2} + {b^2} - {c^2}}}{{abc}}R} \right)\) ( theo bài 58).

\( \Leftrightarrow   {b^2} + {c^2} = 5{a^2}\).

Vậy \(GB \bot GC\)

\(\Leftrightarrow   \cot A = 2\left( {\cot B + \cot C} \right)\).

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu
Bài tiếp theo

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 10 - Xem ngay

Báo lỗi - Góp ý

2k8 Tham gia ngay group chia sẻ, trao đổi tài liệu học tập miễn phí

>> Học trực tuyến Lớp 10 tại Tuyensinh247.com, Cam kết giúp học sinh học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.

Các bài khác cùng chuyên mục


App Loigiaihay trên google play store App Loigiaihay trên apple store

Copyright © 2021 loigiaihay.com

DMCA.com Protection Status
App Loigiaihay trên apple store App Loigiaihay trên google play store

Đăng ký để nhận lời giải hay và tài liệu miễn phí

Cho phép loigiaihay.com gửi các thông báo đến bạn để nhận được các lời giải hay cũng như tài liệu miễn phí.

Đồng ý Bỏ qua