Giải SBT toán hình học và đại số 10 nâng cao Bài 3. Hệ thức lượng trong tam giác.

Bài 64 trang 48 SBT Hình học 10 Nâng cao


Giải bài tập Bài 64 trang 48 SBT Hình học 10 Nâng cao

Đề bài

Chứng minh rằng khoảng cách d từ trọng tâm tam giác \(ABC\) đến tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác đó thỏa mãn hệ thức:

\({R^2} - {d^2} = \dfrac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{9}.\)

Lời giải chi tiết

Giả sử tam giác \(ABC\) nội tiếp trong đường tròn tâm \(O\) và có trọng tâm \(G\). Ta có

\(\begin{array}{*{20}{l}}{{{\overrightarrow {OA} }^2} + {{\overrightarrow {OB} }^2} + {{\overrightarrow {OC} }^2}}\\{ = {{\left( {\overrightarrow {GA}  - \overrightarrow {GO} } \right)}^2} +  {{\left( {\overrightarrow {GB}  - \overrightarrow {GO} } \right)}^2} + \\ {{\left( {\overrightarrow {GC}  - \overrightarrow {GO} } \right)}^2}}\\\begin{array}{l} = {\overrightarrow {GA} ^2} + {\overrightarrow {GB} ^2} + {\overrightarrow {GC} ^2}\\ - 2\overrightarrow {GO} \left( {\overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC} } \right) + 3{\overrightarrow {GO} ^2}\end{array}\end{array}\)

Do \(OA=OB=OC=R\) và \(\overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC}  = \overrightarrow 0 \) nên \(3{R^2} = G{A^2} + G{B^2} + G{C^2} + 3{d^2}\).

Mặt khác

\(\begin{array}{*{20}{l}}{G{A^2} + G{B^2} + G{C^2}}\\{ = \dfrac{4}{9}\left( {m_a^2 + m_b^2 + m_c^2} \right)}\\{ = \dfrac{4}{9}\left( {\dfrac{{{b^2} + {c^2}}}{2} - \dfrac{{{a^2}}}{4} + \dfrac{{{a^2} + {c^2}}}{2}} \right.}\\\begin{array}{l}\left. { - \dfrac{{{b^2}}}{4} + \dfrac{{{a^2} + {b^2}}}{2} - \dfrac{{{c^2}}}{4}} \right)\\ = \dfrac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{3}\end{array}\end{array}\)

Do đó \(3{R^2} = \dfrac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{3} + 3{d^2}\), suy ra  \({R^2} - {d^2} = \dfrac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{9}\).

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu
Bài tiếp theo

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 10 - Xem ngay

Báo lỗi - Góp ý

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Các bài khác cùng chuyên mục


App Loigiaihay trên google play store App Loigiaihay trên apple store

Copyright © 2021 loigiaihay.com

DMCA.com Protection Status
App Loigiaihay trên apple store App Loigiaihay trên google play store