Giải SBT toán hình học và đại số 10 nâng cao Bài 3. Hệ thức lượng trong tam giác.

Bài 65 trang 48 SBT Hình học 10 Nâng cao


Giải bài tập Bài 65 trang 48 SBT Hình học 10 Nâng cao

Đề bài

Chứng minh rằng trong mỗi tam giác, khoảng cách d từ tâm đường tròn nội tiếp đến tâm đường tròn ngoại tiếp thỏa mãn hệ thức:

\({d^2} = {R^2} - 2Rr\).  ( Hệ thức Ơ-le)

Lời giải chi tiết

(h.58).

 

Xét tam giác \(ABC\) nội tiếp đường tròn \((O ; R)\) và ngoại tiếp đường tròn \((I ; r)\).

Gọi \(D, E\) lần lượt là điểm chính giữa cung \(\stackrel\frown {BC}\) và cung \(\stackrel\frown {AC}\) thì \(OD \bot BC ,  \widehat {BAD} = \dfrac{{\widehat A}}{2}\).

Mặt khác , ta có

\(\widehat {BID} = \dfrac{1}{2}\)(sđ\(\stackrel\frown {BD}\) +sđ \(\stackrel\frown {AE}\)) \)

\(= \dfrac{1}{2}\)(sđ \(\stackrel\frown {DC}\) + sđ \(\stackrel\frown {EC}\)) = \(\dfrac{1}{2}\)(sđ\(\stackrel\frown {DCE}\) ).

Vậy \(\widehat {BID} = \widehat {IBD}\), suy ra \(ID = BD = 2R\sin \dfrac{A}{2}\).

Trong tam giác OID ta có \(O{I^2} = I{D^2} + O{D^2} - 2\overrightarrow {DI} .\overrightarrow {DO} \).\( \Rightarrow   O{I^2} = 4R{\sin ^2}\dfrac{A}{2} + {R^2} - 2\overrightarrow {DO} .\overrightarrow {DH} \)    (với \(IH \bot OD\)).

Dễ thấy

\(\overrightarrow {DO} .\overrightarrow {DH}  = DO.(DJ + JH)\)

\(= R\left( {BD\sin \dfrac{A}{2} + r} \right) \)

\(= R\left( {2R{{\sin }^2}\dfrac{A}{2} + r} \right)\)

\(= 2{R^2}{\sin ^2}\dfrac{A}{2} + Rr\).

Từ đó suy ra \({d^2} = {R^2} - Rr\).

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4 trên 3 phiếu
Bài tiếp theo

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 10 - Xem ngay

Báo lỗi - Góp ý

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Các bài khác cùng chuyên mục


App Loigiaihay trên google play store App Loigiaihay trên apple store

Copyright © 2021 loigiaihay.com

DMCA.com Protection Status
App Loigiaihay trên apple store App Loigiaihay trên google play store