Giải SBT toán hình học và đại số 10 nâng cao Bài 3. Hệ thức lượng trong tam giác.

Bài 73 trang 49 SBT Hình học 10 Nâng cao


Giải bài tập Bài 73 trang 49 SBT Hình học 10 Nâng cao

Đề bài

Cho tam giác cân có cạnh bên bằng b nội tiếp trong đường tròn \((O ; R).\)

a) Tính cosin của các góc của tam giác.

b) Tính bán kính đường tròn nội tiếp tam giác.

c) Với giá trị nào của \(b\) thì tam giác đó có diện tích lớn nhất ?

Lời giải chi tiết

(h.66)

 

a) Giả sử tam giác đã cho là \(ABC\) có \(AB=AC=b.\)

Đặt \(\widehat B = \widehat C = \alpha \) thì \(\alpha  < {90^0}\).

Ta có  \(\sin \alpha  = \dfrac{b}{{2R}}\) nên \(\cos B = \cos C = \sqrt {1 - \dfrac{{{b^2}}}{{4{R^2}}}} \)\( = \dfrac{{\sqrt {4{R^2} - {b^2}} }}{{2R}}\).

Ta lại có

 \(\begin{array}{l}\cos A = \dfrac{{A{B^2} + A{C^2} - B{C^2}}}{{2.AB.AC}}\\ = \dfrac{{2{b^2} - 4{b^2}{{\cos }^2}\alpha }}{{2{b^2}}}\\= 1 - 2{\cos ^2}\alpha \\ = 1 - 2\left( {1 - \dfrac{{{b^2}}}{{4{R^2}}}} \right) \\= \dfrac{{{b^2} - 2{R^2}}}{{2{R^2}}}.\end{array}\)

b) Diện tích tam giác là

\(S = \dfrac{1}{2}BC.AH = \dfrac{1}{2}2b\cos \alpha .b\sin \alpha \)

\(= {b^2}\cos \alpha \sin \alpha  = \dfrac{{{b^3}\sqrt {4{R^2} - {b^2}} }}{{4{R^2}}}\).

Chu vi tam giác là \(2p = 2b + 2b\dfrac{{\sqrt {4{R^2} - {b^2}} }}{{2R}}\).

Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác là \(r = \dfrac{S}{p} = \dfrac{{{b^2}\sqrt {4{R^2} - {b^2}} }}{{2R\left( {2R + \sqrt {4{R^2} - {b^2}} } \right)}}\).

c) Ta phải tìm \(b\) để \(y = {b^3}\sqrt {4{R^2} - {b^2}} \) đạt giá trị lớn nhất.

Viết lại  \(y = 3\sqrt 3 \sqrt {\dfrac{{{b^2}}}{3}.\dfrac{{{b^2}}}{3}.\dfrac{{{b^2}}}{3}\left( {4{R^2} - {b^2}} \right)} \). Khi đó coi biểu thức trong căn là tích của bốn thừa số mà tổng của chúng bằng \(4{R^2}\) không đổi nên y đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi \(\dfrac{{{b^2}}}{3} = 4{R^2} - {b^2}\)  hay \(b = R\sqrt 3 \).

Khi đó \(\sin \alpha  = \dfrac{{R\sqrt 3 }}{{2R}} = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}   \Rightarrow   \alpha  = {60^0}\), ta được tam giác \(ABC\) là tam gác đều.

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu
Bài tiếp theo

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 10 - Xem ngay

Báo lỗi - Góp ý

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Các bài khác cùng chuyên mục


App Loigiaihay trên google play store App Loigiaihay trên apple store

Copyright © 2021 loigiaihay.com

DMCA.com Protection Status
App Loigiaihay trên apple store App Loigiaihay trên google play store