Bài 70 trang 49 SBT Hình học 10 Nâng cao


Đề bài

Cho tam giác \(ABC\) có trọng tâm \(G\). Gọi \(A’, B’, C’\) lần lượt là hình chiếu của \(G\) trên các cạnh \(BC, CA, AB\) của tam giác. Hãy tính diện tích của tam giác \(A’B’C’\) biết rằng tam giác \(ABC\) có diện tích bằng \(S\) và khoảng cách từ \(G\) đến tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đó bằng \(d\), bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng \(R.\)

Lời giải chi tiết

(h.63).

 

\({S_{A'B'C'}} = {S_{GA'B'}} + {S_{GB'C'}} + {S_{GC'A'}}  ;\)

\(  {S_{GA'B'}} = \dfrac{1}{2}.GA'.GB'.\sin ({180^0} - \widehat C)\)

\(= \dfrac{1}{{18}}{h_a}{h_b}\sin C\).

Trong tam giác ABC, \({h_a} = \dfrac{{2S}}{a} ,  {h_b} = \dfrac{{2S}}{b} ,  \sin C = \dfrac{c}{{2R}}\)

Từ đó ta có \({S_{GA'B'}} = \dfrac{{{S^2}.c}}{{9ab.R}} = \dfrac{{{S^2}.{c^2}}}{{9abc.R}}\).

Tương tự, \({S_{GB'C'}} = \dfrac{{{S^2}{a^2}}}{{9abc.R}} ;  {S_{GC'A'}} = \dfrac{{{S^2}{b^2}}}{{9abc.R}}\).

Suy ra \({S_{A'B'C'}} = \dfrac{{{S^2}}}{{9abc.R}}({a^2} + {b^2} + {c^2}).\)

Ta lại có \(S = \dfrac{{abc}}{{4R}}\) và \({a^2} + {b^2} + {c^2} = 9({R^2} - {d^2})\) ( theo bài 64) nên \({S_{A'B'C'}} = \dfrac{{{R^2} - {d^2}}}{{4{R^2}}}.S\).

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 10 - Xem ngay

2k8 Tham gia ngay group chia sẻ, trao đổi tài liệu học tập miễn phí

>> Học trực tuyến Lớp 10 tại Tuyensinh247.com, Cam kết giúp học sinh học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.