Bài 72 trang 49 SBT Hình học 10 Nâng cao>
Giải bài tập Bài 72 trang 49 SBT Hình học 10 Nâng cao
Đề bài
Cho từ giác \(ABCD\) nội tiếp được và có các cạnh \(a,b, c, d\). Chứng minh rằng diện tích tứ giác đó được tính theo công thức sau:
\(S = \sqrt {(p - a)(p - b)(p - c)(p - d)} \),trong đó \(p\) là nửa chu vi tứ giác.
Lời giải chi tiết
Giải
Giả sử \(ABCD\) là tứ giác nội tiếp với độ dài cạnh là \(a, b, c, d\) (h.65).
Khi đó \(\widehat A + \widehat C = {180^0}\) nên \(\sin C= \sin A ; \cos C= -\cos A.\)
Ta có
\(S = {S_{ABD}} + {S_{CDB}}\)
\(= \dfrac{1}{2}ad\sin A + \dfrac{1}{2}bc\sin C\)
hay \(2S = (ad + bc)\sin A\), suy ra \(\sin A = \dfrac{{2S}}{{ad + bc}}\).
Mặt khác, tam giác ABD có \(B{D^2} = {a^2} + {d^2} - 2ad\cos A\), còn tam giác CBD có \(B{D^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc\cos C\) \( = {b^2} + {c^2} + 2bc\cos A\).
Suy ra \({a^2} + {d^2} - {b^2} - {c^2} = 2(ad + bc)\cos A\) nên \(\cos A = \dfrac{{{a^2} + {d^2} - {b^2} - {c^2}}}{{2(ad + bc)}}\).
Do \({\cos ^2}A + {\sin ^2}A = 1\) nên \(16{S^2} + {({a^2} + {d^2} - {b^2} - {c^2})^2}\) \( = 4{(ad + bc)^2}\).
Vậy \(16{S^2} = {\left[ {2(ad + bc)} \right]^2} - {({a^2} + {d^2} - {b^2} - {c^2})^2}\)
\(\begin{array}{l} = (2ad + 2bc + {a^2} + {d^2} - {b^2} - {c^2})\\(2ad + 2bc - {a^2} - {d^2} + {b^2} + {c^2})\\ = \left[ {{{(a + d)}^2} - {{(b - c)}^2}} \right].\left[ {{{(b + c)}^2} - {{(a - d)}^2}} \right]\\ = (a + d + b - c)(a + d - b + c)\\(b + c + a - d)(b + c - a + d)\\ = (2p - 2c)(2p - 2b)(2p - 2d)(2p - 2a)\\ = 16(p - a)(p - b)(p - c)(p - d).\end{array}\)
Từ đó ta có \(S = \sqrt {(p - a)(p - b)(p - c)(p - d)} \).
Loigiaihay.com
- Bài 73 trang 49 SBT Hình học 10 Nâng cao
- Bài 74 trang 49 SBT Hình học 10 Nâng cao
- Bài 75 trang 50 SBT Hình học 10 Nâng cao
- Bài 76 trang 50 SBT Hình học 10 Nâng cao
- Bài 77 trang 50 SBT Hình học 10 Nâng cao
>> Xem thêm