Giải SBT toán hình học và đại số 10 nâng cao Bài 3. Hệ thức lượng trong tam giác.

Bài 72 trang 49 SBT Hình học 10 Nâng cao


Giải bài tập Bài 72 trang 49 SBT Hình học 10 Nâng cao

Đề bài

Cho từ giác \(ABCD\) nội tiếp được và có các cạnh \(a,b, c, d\). Chứng minh rằng diện tích tứ giác đó được tính theo công thức sau:

\(S = \sqrt {(p - a)(p - b)(p - c)(p - d)} \),trong đó \(p\) là nửa chu vi tứ giác.

Lời giải chi tiết

Giải

 

Giả sử \(ABCD\) là tứ giác nội tiếp với độ dài cạnh là \(a, b, c, d\)  (h.65).

Khi đó \(\widehat A + \widehat C = {180^0}\) nên \(\sin C= \sin A ;  \cos C= -\cos A.\)

Ta có

\(S = {S_{ABD}} + {S_{CDB}}\)

\(= \dfrac{1}{2}ad\sin A + \dfrac{1}{2}bc\sin C\)

hay \(2S = (ad + bc)\sin A\), suy ra \(\sin A = \dfrac{{2S}}{{ad + bc}}\).

Mặt khác, tam giác ABD có \(B{D^2} = {a^2} + {d^2} - 2ad\cos A\), còn tam giác CBD có \(B{D^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc\cos C\) \( = {b^2} + {c^2} + 2bc\cos A\).

Suy ra \({a^2} + {d^2} - {b^2} - {c^2} = 2(ad + bc)\cos A\) nên \(\cos A = \dfrac{{{a^2} + {d^2} - {b^2} - {c^2}}}{{2(ad + bc)}}\).

Do \({\cos ^2}A + {\sin ^2}A = 1\) nên \(16{S^2} + {({a^2} + {d^2} - {b^2} - {c^2})^2}\) \( = 4{(ad + bc)^2}\).

Vậy \(16{S^2} = {\left[ {2(ad + bc)} \right]^2} - {({a^2} + {d^2} - {b^2} - {c^2})^2}\)

\(\begin{array}{l} = (2ad + 2bc + {a^2} + {d^2} - {b^2} - {c^2})\\(2ad + 2bc - {a^2} - {d^2} + {b^2} + {c^2})\\ = \left[ {{{(a + d)}^2} - {{(b - c)}^2}} \right].\left[ {{{(b + c)}^2} - {{(a - d)}^2}} \right]\\ = (a + d + b - c)(a + d - b + c)\\(b + c + a - d)(b + c - a + d)\\ = (2p - 2c)(2p - 2b)(2p - 2d)(2p - 2a)\\ = 16(p - a)(p - b)(p - c)(p - d).\end{array}\)

Từ đó ta có \(S = \sqrt {(p - a)(p - b)(p - c)(p - d)} \).

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu
Bài tiếp theo

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 10 - Xem ngay

Báo lỗi - Góp ý

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Các bài khác cùng chuyên mục


App Loigiaihay trên google play store App Loigiaihay trên apple store

Copyright © 2021 loigiaihay.com

DMCA.com Protection Status
App Loigiaihay trên apple store App Loigiaihay trên google play store

Đăng ký để nhận lời giải hay và tài liệu miễn phí

Cho phép loigiaihay.com gửi các thông báo đến bạn để nhận được các lời giải hay cũng như tài liệu miễn phí.

Đồng ý Bỏ qua