Giải SBT toán hình học và đại số 10 nâng cao Bài 3. Hệ thức lượng trong tam giác.

Bài 66 trang 48 SBT Hình học 10 Nâng cao


Giải bài tập Bài 66 trang 48 SBT Hình học 10 Nâng cao

Đề bài

Cho điểm \(M\) cố định trên đường tròn \((O ; R)\) và hai điểm \(N, P\) chạy trên đường tròn đó sao cho \(\widehat {NMP} = {30^0}\).

a) Tìm quỹ tích trung điểm \(I\) của \(NP.\)

b) Xác định vị trí của \(N, P\) để diện tích tam giác \(MNP\) đạt giá trị lớn nhất.

Lời giải chi tiết

(h.59).

 

a) Ta có \(NP = 2R\sin {30^0} = R,\)

\(  O{I^2} = O{N^2} - N{I^2} \)

\(= {R^2} - \dfrac{{{R^2}}}{4} = \dfrac{{3{R^2}}}{4}\).

Suy ra \(OI = \dfrac{{R\sqrt 3 }}{2}\) không đổi, do đó \(I\) thuộc đường tròn tâm \(O\) bán kính bằng \(\dfrac{{R\sqrt 3 }}{2}\).

Đảo lại, với mỗi điểm \(I\) trên đường tròn đó ta kẻ dây cung \(NP\) của \((O)\) vuông góc với \(OI\) thì \(NP=2NI=R.\)

Ta có \(\sin \widehat {NMP} = \dfrac{R}{{2R}} = \dfrac{1}{2}\). Góc \(NMP\) có thể bằng \(30^0\) hoặc bằng \(150^0\). Dễ thấy \(\widehat {NMP} = {30^0}\) khi và chỉ khi \(O, M\) ở về một phía của \(NP\) hay \(I\) nằm trên cung lớn \(\stackrel\frown {EF}\) của đường tròn \(\left( {O ; \dfrac{{R\sqrt 3 }}{2}} \right)\) (\(E, F\) là hai tiếp điểm của hai tiếp tuyến kẻ từ M tới đường tròn \(\left( {O ; \dfrac{{R\sqrt 3 }}{2}} \right)\) ).

Vậy quỹ tích của \(I\) là cung lớn \(\stackrel\frown {EF}\).

b) Diện tích tam giác MNP là \(S = \dfrac{1}{2}MN.MP.{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{i}}{{\rm{n}}^0} = \dfrac{1}{4}MN.MP\). Theo bất đẳng thức Cô-si, \(MN.MP  \le \dfrac{{M{N^2} + M{P^2}}}{2}\), mà \(M{N^2} + M{P^2} = 2M{I^2} + \dfrac{{{R^2}}}{2}\) nên \(S \le \dfrac{1}{4}\left( {M{I^2} + \dfrac{{{R^2}}}{4}} \right)\).  (*)

Ta có \(MI\) lớn nhất khi \(M, O, I\) thẳng hàng và \(O\) nằm giữa \(M, I\). Khi đó ta cũng có \(MN=MP\) nên (*) xảy ra dấu “=”. Vậy \(S\) lớn nhất khi và chỉ khi \(MI\) lớn nhất hay \(M ,O, I\) thẳng hàng và \(O\) nằm giữa \(M, I.\)

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu
Bài tiếp theo

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 10 - Xem ngay

Báo lỗi - Góp ý

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Các bài khác cùng chuyên mục


App Loigiaihay trên google play store App Loigiaihay trên apple store

Copyright © 2021 loigiaihay.com

DMCA.com Protection Status
App Loigiaihay trên apple store App Loigiaihay trên google play store