Bài 9 trang 92 Vở bài tập Toán 9 tập 2


Đề bài

a) Chứng minh rằng đường kính đi qua điểm chính giữa của một cung thì đi qua trung điểm của dây căng cung ấy.

Mệnh đề đảo có đúng không ? Hãy nêu thêm điều kiện để mệnh đề đảo đúng.

b) Chứng minh rằng đường kính đi qua điểm chính giữa của một cung thì vuông góc với dây căng cung ấy và ngược lại.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng tính chất tam giác cân

Chứng minh hai góc ở tâm bằng nhau để suy ra các cung bằng nhau.

Lời giải chi tiết

Giả sử đường kính \(AB\) cắt dây \(CD\) tại \(H.\) Nối \(O\) với \(C\) và \(D.\)

Từ giả thiết \(\overparen{CB}=\overparen{BD}\) 

nên \(\widehat {{O_1}} = \widehat {{O_2}}\) (hai góc ở tâm chắn hai cung bằng nhau thì bằng nhau) 

\( \Rightarrow AB\) (hay \(OH\)) là tia phân giác của tam giác cân \(OCD.\)

Vậy ta có \(HC = HD\) (đpcm).

Mệnh đề đảo : Giả sử \(HC = HD \Rightarrow \) \(\overparen{CB}=\overparen{BD}\) 

Xét trường hợp \(CD\) không đi qua tâm. Khi đó, \(\Delta OCD\) là tam giác cân vì \(OC = OD.\) Do đó, \(OH\) vừa là đường cao và là đường phân giác.

\( \Rightarrow \widehat {{O_1}} = \widehat {{O_2}}.\) Vậy theo tính chất góc ở tâm ta có \(\overparen{CB}=\overparen{BD}\) 

Khi \(CD\) đi qua tâm thì mệnh đề đảo sai.

Vậy để mệnh đề đảo đúng phải thêm điều kiện là dây cung không phải là đường kính.

b) Giả sử đường kính \(AB\) và \(\overparen{CB}=\overparen{BD}\)

Theo chứng minh câu a) ta có \(OH\) là tia phân giác của \(\Delta OCD\) và \(H\) thuộc đường thẳng \(AB\) nên \(AB \bot CD.\)

Ngược lại từ\(AB \bot CD\), xét \(\Delta OCD\) cân tại \(O.\) Vì \(H\) thuộc \(AB\) nên \(OH\) là đường cao đồng thời là đường phân giác. Suy ra \(\widehat {{O_1}} = \widehat {{O_2}}\).

Vậy theo tính chất về góc ở tâm ta có  \(\overparen{CB}=\overparen{BD}\) hay \(B\) là điểm chính giữa cung CD (đpcm). 

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu

Các bài liên quan: - Bài 2. Liên hệ giữa cung và dây

  • Bài 8 trang 91 Vở bài tập toán 9 tập 2

    Giải bài 8 trang 91 VBT toán 9 tập 2. Chứng minh rằng trong một đường tròn, hai cung bị chắn giữa hai dây song song thì bằng nhau...

  • Bài 7 trang 90 Vở bài tập toán 9 tập 2

    Giải bài 7 trang 90 VBT toán 9 tập 2. Cho hai đường tròn bằng nhau (O) và (O’) cắt nhau tại hai điểm A và B. Kẻ các đường kính AOC, AO’D. Gọi E là giao điểm thứ hai của AO với đường tròn (O’)...

  • Phần câu hỏi bài 2 trang 90 Vở bài tập toán 9 tập 2

    Giải phần câu hỏi bài 2 trang 90 VBT toán 9 tập 2. Cho AB là đường kính của đường trong tâm O. Lấy điểm C trên đường tròn sao cho góc BOC bằng 60 độ. Hãy chọn độ dài của dây cung AC (đơn vị cm) khi đường kính đường tròn bằng 5 cm

Luyện Bài tập trắc nghiệm môn Toán lớp 9 - Xem ngay

>> Học trực tuyến lớp 9 và luyện vào lớp 10 tại Tuyensinh247.com. , cam kết giúp học sinh lớp 9 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.