Bài 28 trang 79 Vở bài tập toán 7 tập 2


Đề bài

Gọi \(G\) là trọng tâm của tam giác \(ABC\). Trên tia \(AG\) lấy điểm \(G’\) sao cho \(G\) là trung điểm của \(AG’\). (h.27)

a) So sánh các cạnh của tam giác \(BGG’\) với các đường trung tuyến của tam giác \(ABC.\)

b) So sánh các đường trung tuyến của tam giác \(BGG’\) với các cạnh của tam giác \(ABC.\)

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Áp dụng tính chất đường trung tuyến của tam giác.

Lời giải chi tiết

a) So sánh các cạnh của tam giác \(BGG'\) với các đường trung tuyến của tam giác \(ABC.\)

Theo tính chất trọng tâm của tam giác, ta có : 

\(BG = \dfrac{2}{3}BE,\) \(CG = \dfrac{2}{3}CF,\) \(AG = \dfrac{2}{3}AD.\)

Mặt khác, do \(G\) là trung điểm của \(AG'\) nên \(GG' = AG = \dfrac{2}{3}AD.\)

Ta còn có \(\Delta BDG' = \Delta CDG\) \(\left( {c.g.c} \right)\), suy ra \(BG' = CG = \dfrac{2}{3}CF.\)

Tóm lại ta có

\(GG' = \dfrac{2}{3}AD;\) \(BG = \dfrac{2}{3}BE;\) \(BG' = \dfrac{2}{3}CF.\)

b) So sánh các đường trung tuyến \(BD,\,GI,\,G'K\) của tam giác \(BGG'\) với các cạnh của tam giác \(ABC.\) Ta có \(BD = \dfrac{1}{2}BC\) (vì \(D\) là trung điểm của \(BC\)).

Hai tam giác \(AEG\) và \(G'KG\) có \(AG = GG'\) vì \(G\) là trung điểm của \(AG'\), \(GK = GE\) vì cùng bằng \(\dfrac{1}{3}BE\) và \(\widehat {AGE} = \widehat {G'GK}\) (đối đỉnh). Vậy \(\Delta AEG = \Delta G'KG\), do đó

\(G'K = AE = \dfrac{1}{2}AC\) (vì \(E\) là trung điểm của \(AC\)).

Hai tam giác \(BDG'\) và \(CDG\) bằng nhau theo câu a) nên ta có \(\widehat {G'BD} = \widehat {GCD},\) suy ra \(BG'//CF,\) do đó \(\widehat {FGB} = \widehat {GBI}\) (so le trong). Hơn nữa, \(BG' = CG\) \(\left( { = \dfrac{2}{3}CF} \right)\) suy ra \(BI = \dfrac{1}{2}BG' = \dfrac{1}{2}CG = GF\).

Vậy \(\Delta BFG = \Delta GIB\left( {c.g.c} \right)\), suy ra \(GI = BF = \dfrac{1}{2}AB.\)

Tóm lại \(BD = \dfrac{1}{2}BC;\) \(GI = \dfrac{1}{2}AB;\) \(G'K = \dfrac{1}{2}AC.\)

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.4 trên 17 phiếu

>> Xem thêm

Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

>> Học trực tuyến lớp 7 trên Tuyensinh247.com cam kết giúp học sinh lớp 7 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.