Câu 77 trang 65 Sách bài tập Hình học 11 nâng cao.

Cho hình hộp.

Đề bài

Cho hình hộp \(ABCD.{A_1}{B_1}{C_1}{D_1}.\)

a) Chứng minh rằng đường chéo \({B_1}D\) cắt \(mp\left( {{A_1}B{C_1}} \right)\) tại điểm G sao cho \({B_1}G = {1 \over 2}GD\) và G là trọng tâm của tam giác \({A_1}B{C_1}.\)

b) Chứng minh rằng \(\left( {{D_1}AC} \right)//\left( {B{A_1}{C_1}} \right)\) và trọng tâm G’ của tam giác \({D_1}AC\) cũng nằm trên \({B_1}D\) và \({B_1}G' = {2 \over 3}{B_1}D.\)

c) Gọi P, Q, R lần lượt là các điểm đối xứng của điểm \({B_1}\) qua \(A,\,{D_1}\) và C. Chứng minh rằng \(\left( {PQR} \right)//\left( {B{A_1}{C_1}} \right)\).

d) Chứng minh rằng D là trọng tâm tứ diện \({B_1}PQR.\)

Lời giải chi tiết

a) Gọi \({O_1}\) là giao điểm của \({A_1}{C_1}\) và \({B_1}{D_1}.\) Khi đó \(\left( {{A_1}B{C_1}} \right) \cap \left( {B{\rm{D}}{D_1}{B_1}} \right) = B{O_1}.\)

Gọi G là giao điểm của \({B_1}D\) và \(B{O_1}\) thì G chính là giao điểm của \({B_1}D\) với \(\left( {{A_1}B{C_1}} \right).\) Dễ thấy \(\Delta GBD \sim \Delta G{O_1}{B_1},\) tỉ số đồng dạng là 2 (do \({{BD} \over {{B_1}{O_1}}} = 2\)).

Vậy \({B_1}G = {1 \over 2}GD\) và \(G{O_1} = {1 \over 2}GB,\) suy ra G là trọng tâm tam giác \({A_1}B{C_1}.\)

b) Dễ thấy

\(AC//{A_1}{C_1},\,{D_1}A//{C_1}B \Rightarrow \left( {{D_1}AC} \right)//\left( {B{A_1}{C_1}} \right).\)

Chứng minh tương tự như câu a), ta có trọng tâm G’ của tam giác \({D_1}AC\) nằm trên đường chéo \(D{B_1}\) và \(DG' = {1 \over 2}G'{B_1}.\) Từ đó và kết quả của câu a), suy ra G và G’ chia đường chéo \({B_1}D\) thành ba phần bằng nhau.

Vậy \({B_1}G' = {2 \over 3}{B_1}D.\)

c) Do \(A,\,{D_1},\,C\) lần lượt là trung điểm của \(P{B_1},\,Q{B_1},\,R{B_1}\) nên

\(PQ//A{D_1},\,QR//{D_1}C,\,RP//CA.\)

Từ đó suy ra: \(\left( {PRQ} \right)//\left( {A{D_1}C} \right).\)

Mặt khác, theo câu b), ta có \(\left( {{D_1}AC} \right)//\left( {B{A_1}{C_1}} \right),\) nên \(\left( {PRQ} \right)//\left( {B{A_1}{C_1}} \right).\)

d) Vì \(A,\,{D_1},\,C\) lần lượt là trung điểm của \({B_1}P,\,{B_1}Q,\,{B_1}R\) nên trọng tâm G” của tam giác PRQ phải nằm trên đường thẳng \({B_1}G'\) và \({B_1}G'' = 2{B_1}G'.\) Mặt khác \({B_1}G' = {2 \over 3}{B_1}D,\) nên

\({B_1}G'' = {4 \over 3}{B_1}D \Rightarrow {B_1}D = {3 \over 4}{B_1}G''.\)

Vậy D là trọng tâm tứ diện \({B_1}PQR.\)

Loigiaihay.com

Bình luận

Chia sẻ

Bình chọn:

4.9 trên 7 phiếu

Câu 76 trang 65 Sách bài tập Hình học 11 nâng cao.
Gọi M, N, E lần lượt là trung điểm của AB, CD, SA.
Câu 75 trang 65 Sách bài tập Hình học 11 nâng cao.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là một tứ giác lồi. Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD; M là trung điểm của cạnh SA.
Câu 74 trang 64 Sách bài tập Hình học 11 nâng cao.
Chứng minh rằng tứ giác PQRS là hình bình hành.
Câu 73 trang 64 Sách bài tập Hình học 11 nâng cao.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành.
Câu 72 trang 64 Sách bài tập Hình học 11 nâng cao.
Cho hình chóp S.ABCD và một điểm M nằm trong tam giác ABC.
Câu 71 trang 64 Sách bài tập Hình học 11 nâng cao.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là một tứ giác lồi. Gọi M, I, J, O lần lượt là trung điểm của SD, AB, CD, IJ.
Câu 70 trang 63 Sách bài tập Hình học 11 nâng cao.
Trong mp(P) cho hai đường thẳng a và b cắt nhau tại O.
Câu 69 trang 63 Sách bài tập Hình học 11 nâng cao.
Gọi E là giao điểm của AD và BC; M là trung điểm của AB; G là trọng tâm của tam giác ECD.
Bài 68 trang 63 SBT Hình học 11 nâng cao.
Chứng minh rằng nếu n đường thẳng đôi một cắt nhau và không đồng phẳng thì chúng đồng quy.